Задачки по геометрии

и задачки для интервью.
Паяльник
Уже с Приветом
Posts: 3811
Joined: 01 Aug 2010 22:25

Задачки по геометрии

Post by Паяльник »

Дано натуральное число N.

1) Доказать, что угол в N градусов можно разделить циркулем и линейкой на N частей тогда и только тогда, когда N не кратно 3.
2) Доказать, что трисекция угла в N градусов циркулем и линейкой возможна тогда и только тогда, когда N кратно 9.
А может быть, разбить окно и окунуться в мир иной,
Где, солнечный рисуя свет, живет художник и поэт?
User avatar
jsjs
Уже с Приветом
Posts: 19447
Joined: 09 Aug 2009 03:46
Location: Москва->США

Re: Задачки по геометрии

Post by jsjs »

1) Особо хорошо делится угол в 19 градусов.
蝸牛そろそろ登れ富士の山
Паяльник
Уже с Приветом
Posts: 3811
Joined: 01 Aug 2010 22:25

Re: Задачки по геометрии

Post by Паяльник »

jsjs wrote: 28 Dec 2020 21:17 1) Особо хорошо делится угол в 19 градусов.
Как вы разделите угол в 19 градусов на 19 частей?
А может быть, разбить окно и окунуться в мир иной,
Где, солнечный рисуя свет, живет художник и поэт?
User avatar
jsjs
Уже с Приветом
Posts: 19447
Joined: 09 Aug 2009 03:46
Location: Москва->США

Re: Задачки по геометрии

Post by jsjs »

Паяльник wrote: 29 Dec 2020 15:15
jsjs wrote: 28 Dec 2020 21:17 1) Особо хорошо делится угол в 19 градусов.
Как вы разделите угол в 19 градусов на 19 частей?
19*19=361.
蝸牛そろそろ登れ富士の山
Паяльник
Уже с Приветом
Posts: 3811
Joined: 01 Aug 2010 22:25

Re: Задачки по геометрии

Post by Паяльник »

jsjs wrote: 29 Dec 2020 15:52
Паяльник wrote: 29 Dec 2020 15:15
jsjs wrote: 28 Dec 2020 21:17 1) Особо хорошо делится угол в 19 градусов.
Как вы разделите угол в 19 градусов на 19 частей?
19*19=361.
Правильно. А в общем виде? Почему любой угол в N градусов, и только такой угол, можно разделить на N частей?
А может быть, разбить окно и окунуться в мир иной,
Где, солнечный рисуя свет, живет художник и поэт?
User avatar
jsjs
Уже с Приветом
Posts: 19447
Joined: 09 Aug 2009 03:46
Location: Москва->США

Re: Задачки по геометрии

Post by jsjs »

Паяльник wrote: 29 Dec 2020 16:03
jsjs wrote: 29 Dec 2020 15:52
Паяльник wrote: 29 Dec 2020 15:15
jsjs wrote: 28 Dec 2020 21:17 1) Особо хорошо делится угол в 19 градусов.
Как вы разделите угол в 19 градусов на 19 частей?
19*19=361.
Правильно. А в общем виде? Почему любой угол в N градусов, и только такой угол, можно разделить на N частей?
В одну сторону -- достаточно просто. Великий афроамериканский учёный Евклид объяснил, как сделать правильный 5-угольник. Из него выковыриваем угол 108 градусов и затем 72 градуса. После чего последовательными байденовскими биссектрисами получаем из 72 градусов 9 градусов. Теперь всё сводится к арифметике по модулю 9,
где искомый угол в плюс/минус 1 градус получается из равенств

1*1 == +1

2*4 == -1

4*2 == -1

5*2 == +1

7*4 == +1

8*1 == -1

В другую сторону -- более скучно, так как уже есть теорема Гаусса-Ванцеля на эту тему.
蝸牛そろそろ登れ富士の山
Паяльник
Уже с Приветом
Posts: 3811
Joined: 01 Aug 2010 22:25

Re: Задачки по геометрии

Post by Паяльник »

jsjs wrote: 29 Dec 2020 21:06
Паяльник wrote: 29 Dec 2020 16:03
jsjs wrote: 29 Dec 2020 15:52
Паяльник wrote: 29 Dec 2020 15:15
jsjs wrote: 28 Dec 2020 21:17 1) Особо хорошо делится угол в 19 градусов.
Как вы разделите угол в 19 градусов на 19 частей?
19*19=361.
Правильно. А в общем виде? Почему любой угол в N градусов, и только такой угол, можно разделить на N частей?
В одну сторону -- достаточно просто. Великий афроамериканский учёный Евклид объяснил, как сделать правильный 5-угольник. Из него выковыриваем угол 108 градусов и затем 72 градуса. После чего последовательными байденовскими биссектрисами получаем из 72 градусов 9 градусов. Теперь всё сводится к арифметике по модулю 9,
где искомый угол в плюс/минус 1 градус получается из равенств

1*1 == +1

2*4 == -1

4*2 == -1

5*2 == +1

7*4 == +1

8*1 == -1

В другую сторону -- более скучно, так как уже есть теорема Гаусса-Ванцеля на эту тему.
Совершенно верно. Я бы ещё заметил вот что. Угол в 3 градуса построить с помощью циркуля и линейки можно (т.к. мы умеем строить угол в 30 градусов и в 18 - последний получается, если мы строим правильный пятиугольник - то легко получить и угол в 3 градуса.) С другой стороны, угол в 1 градус построить нельзя, в силу упомянутой вами теоремы (это было бы равносильно построению правильного 360-угольника, а 360 не есть произведение степени двойки и различных простых чисел Ферма.) То есть, если градусная мера нашего угла - 3N, где N - любое натуральное число, то такой угол построить можно. А если градусная мера нашего угла не делится на 3, то такой угол построить нельзя.
А может быть, разбить окно и окунуться в мир иной,
Где, солнечный рисуя свет, живет художник и поэт?
DropAndDrag
Уже с Приветом
Posts: 6208
Joined: 11 Mar 2011 05:36

Re: Задачки по геометрии

Post by DropAndDrag »

что вы знаете 8O
:great:

Return to “Головоломки”