Игра с кубиками

и задачки для интервью.
User avatar
jsjs
Уже с Приветом
Posts: 19447
Joined: 09 Aug 2009 03:46
Location: Москва->США

Re: Игра с кубиками

Post by jsjs »

Для появления 3 кубиков 444 подряд не *нужно* 18 бросков. Досиаточно трёх. Наверное, Вы как-то не так опять понимаете задачу... Кстати, разница между Байденом и Харрис в правильном решении не такая чудовищная, как 27/4, а всего лишь процентов 10--15...
蝸牛そろそろ登れ富士の山
Chessplayer
Уже с Приветом
Posts: 345
Joined: 27 Nov 2007 05:33

Re: Игра с кубиками

Post by Chessplayer »

Для 2-х бросков (13 / 44) разница тоже будет?


Sent from my iPhone using Tapatalk
User avatar
jsjs
Уже с Приветом
Posts: 19447
Joined: 09 Aug 2009 03:46
Location: Москва->США

Re: Игра с кубиками

Post by jsjs »

Про 13/44 вообще не понял.

Для двух бросков вероятности выпадения 444 или 135 равны друг другу и равны нулю. Для трёх бросков вероятности выпадения 444 или 135 равны друг другу и равны 1/216.
蝸牛そろそろ登れ富士の山
Chessplayer
Уже с Приветом
Posts: 345
Joined: 27 Nov 2007 05:33

Re: Игра с кубиками

Post by Chessplayer »

jsjs wrote: 30 Dec 2020 19:35 Про 13/44 вообще не понял.

Для двух бросков вероятности выпадения 444 или 135 равны друг другу и равны нулю. Для трёх бросков вероятности выпадения 444 или 135 равны друг другу и равны 1/216.
Извините, неточно выразился. Вопрос был в том, если 3-х значные числа (135 / 444) заменить на 2-х значные (13 / 44), то одно из чисел по прежнему будет выпадать раньше?
alex_127
Уже с Приветом
Posts: 7723
Joined: 29 Mar 2000 10:01
Location: Kirkland,WA

Re: Игра с кубиками

Post by alex_127 »

поскольку ходящий первым может выиграть еще до третьего хода противника то я не не вижу как можно сказать что шансы равны...
User avatar
M. Ridcully
Уже с Приветом
Posts: 12003
Joined: 08 Sep 2006 20:07
Location: Силиконка

Re: Игра с кубиками

Post by M. Ridcully »

alex_127 wrote: 30 Dec 2020 19:50 поскольку ходящий первым может выиграть еще до третьего хода противника то я не не вижу как можно сказать что шансы равны...
Угу, только если это.
А разные паттерны - 1 3 5 vs 4 4 4 - так, для отвода глаз.
Chessplayer
Уже с Приветом
Posts: 345
Joined: 27 Nov 2007 05:33

Re: Игра с кубиками

Post by Chessplayer »

я думаю, что вопрос все-таки был в том какая последовательность имеет большую вероятность выпасть первой и предполагалось, что или оба участника кидают кубики на каждом ходе или что начинают случайным образом.

Если для простоты взять 2-х значные последовательности (1,4) и (4,4), то я вижу где ломается симметрия и вероятности действительно отличаются, но вот для (1,3) и (4, 4) - нет.
User avatar
jsjs
Уже с Приветом
Posts: 19447
Joined: 09 Aug 2009 03:46
Location: Москва->США

Re: Игра с кубиками

Post by jsjs »

alex_127 wrote: 30 Dec 2020 19:50 поскольку ходящий первым может выиграть еще до третьего хода противника то я не не вижу как можно сказать что шансы равны...
Нет здесь понятия "ходящий первым". У каждого свой кубик, бросают одновременно. Так что возможна ничья.

Если угодно: есть две бесконечные последовательности из элементов {1,2,3,4,5,6}, выбираемых случайно. Рассмотрим случайные величины "номер первого появления слова 444" и "номер первого появления слова 135". Равны ли мат.ожидания этих величин и, если нет, то какая больше?
蝸牛そろそろ登れ富士の山
User avatar
jsjs
Уже с Приветом
Posts: 19447
Joined: 09 Aug 2009 03:46
Location: Москва->США

Re: Игра с кубиками

Post by jsjs »

Chessplayer wrote: 30 Dec 2020 20:04 я думаю, что вопрос все-таки был в том какая последовательность имеет большую вероятность выпасть первой и предполагалось, что или оба участника кидают кубики на каждом ходе.
Да, именно так.
蝸牛そろそろ登れ富士の山
Физик-Лирик
Уже с Приветом
Posts: 5104
Joined: 19 Oct 2004 01:46

Re: Игра с кубиками

Post by Физик-Лирик »

Chessplayer wrote: 30 Dec 2020 20:04 Если для простоты взять 2-х значные последовательности (1,4) и (4,4), то я вижу где ломается симметрия и вероятности действительно отличаются, но вот для (1,3) и (4, 4) - нет.
И как/где симметрия ломается?
Chessplayer
Уже с Приветом
Posts: 345
Joined: 27 Nov 2007 05:33

Re: Игра с кубиками

Post by Chessplayer »

Для (1,4) и (4,4) (предположим, что первая комбинация - это поражение, вторая - победа)
существует 3 состояния (state) перед каждым броском кубика:
1. на предыдущем ходе выпала 1.
2. на предыдущем ходе выпала 4.
3. на предыдущем ходе выпала не 1 или 4.

Вероятности переходов между состояниями:
из состояния 3: 1/6 в сост. 1, 1/6 в сост. 2, 4/6 остаться
из состояния 1: 1/6 - lose (выпала 4, как следствие переход в сост 2 запрещен), 5/6 - в сост.3
из состояния 2: 1/6 - win (выпала 4), 1/6 - в сост. 1, 4/6 - в сост. 3.

Как мы видим симметрия нарушена. Можно честно расписать мат ожидание и все посчитать. Но если (1,4) заменить на (1,3), то симметрия восстанавливается - опять появляется переход из состояния 1 в сост. 2.

Как-то так.
User avatar
jsjs
Уже с Приветом
Posts: 19447
Joined: 09 Aug 2009 03:46
Location: Москва->США

Re: Игра с кубиками

Post by jsjs »

Марковские цепи - наше всё. Однако, эти рассуждения по поводу победы/поражения, похоже про какую-то другую задачу -- есть одна бесконечная последовательность из {1,2,...,6}, какое из слов (1,4) или (4,4) появится там раньше. Здесь же последовательностей (и кубиков) две (два), и они независимы друг от друга.
蝸牛そろそろ登れ富士の山
Chessplayer
Уже с Приветом
Posts: 345
Joined: 27 Nov 2007 05:33

Re: Игра с кубиками

Post by Chessplayer »

вот это пока непонятно. Казалось бы, что в каждой из последовательностей мат ожидание выпадения каждого из 2-х слов должно быть одинаково. Если мы говорим о математической задаче, конечно.
User avatar
jsjs
Уже с Приветом
Posts: 19447
Joined: 09 Aug 2009 03:46
Location: Москва->США

Re: Игра с кубиками

Post by jsjs »

Дело не в вероятности выпадения слова в бесконечной последовательности, а в мат.ожидании его ПЕРВОГО выпадения.
蝸牛そろそろ登れ富士の山
User avatar
M. Ridcully
Уже с Приветом
Posts: 12003
Joined: 08 Sep 2006 20:07
Location: Силиконка

Re: Игра с кубиками

Post by M. Ridcully »

Chessplayer wrote: 30 Dec 2020 20:50 вот это пока непонятно. Казалось бы, что в каждой из последовательностей мат ожидание выпадения каждого из 2-х слов должно быть одинаково. Если мы говорим о математической задаче, конечно.
Мат. ожидание как раз будет больше для повторяющихся цифр.
Но вот как оно может отличаться для _первого_ случая - не понятно мне.
Chessplayer
Уже с Приветом
Posts: 345
Joined: 27 Nov 2007 05:33

Re: Игра с кубиками

Post by Chessplayer »

jsjs wrote: 30 Dec 2020 20:58 Дело не в вероятности выпадения слова в бесконечной последовательности, а в мат.ожидании его ПЕРВОГО выпадения.
да, разница в формулировке задачи действительно есть. Осталось только понять почему эргодичность нарушается.
Chessplayer
Уже с Приветом
Posts: 345
Joined: 27 Nov 2007 05:33

Re: Игра с кубиками

Post by Chessplayer »

M. Ridcully wrote: 30 Dec 2020 21:01 Мат. ожидание как раз будет больше для повторяющихся цифр.
меньше.
veey+

Re: Игра с кубиками

Post by veey+ »

я не вижу, как у одного игрока шансов может быть больше, чем у другого. Вот почему.

У стандартного кубика сумма чисел на противоположных сторонах равна 7. Т.е. чтобы выпала 4-ка, надо, чтобы кубик приземлился на 3-ку.
Т.е., если бы игра заключалось в том, кто первый выбросит 4-ку (т.е. приземлит кубик на 3-ку) три раза подряд, то очевидно, что оба игрока имеют одинаковые шансы.
В нашем случае совершенно неважно стандартные кубики или нет. Поэтому сделаем так:
- оба игрока просто бросают кубик в надежде 3 раза подряд приземлить его на 3-ку.
- с кубиком 1-го игрока мы ничего не делаем, а у кубика 2-го меняем местами 1 и 4. Далее, если таки он приземлил кубик на 3-ку, меняем местами 3 и 1. И если ему повезло дважды - то 5 и 3.

Т.е. вполне очевидно, что шансы равны.
Физик-Лирик
Уже с Приветом
Posts: 5104
Joined: 19 Oct 2004 01:46

Re: Игра с кубиками

Post by Физик-Лирик »

Chessplayer wrote: 30 Dec 2020 21:01
jsjs wrote: 30 Dec 2020 20:58 Дело не в вероятности выпадения слова в бесконечной последовательности, а в мат.ожидании его ПЕРВОГО выпадения.
да, разница в формулировке задачи действительно есть. Осталось только понять почему эргодичность нарушается.
Вы уверены, что "эргодичность" тут имеет значение? Вы имеете в виду процесс, трансформацию, что? Стохастический процесс стационарен, как в широком так и в узком смысле. Где что нарушается?
Физик-Лирик
Уже с Приветом
Posts: 5104
Joined: 19 Oct 2004 01:46

Re: Игра с кубиками

Post by Физик-Лирик »

jsjs wrote: 30 Dec 2020 20:58 Дело не в вероятности выпадения слова в бесконечной последовательности, а в мат.ожидании его ПЕРВОГО выпадения.
Другими словами, есть случайная величина, равная времени первого события (т.е. номера итерации). Событие = выпадение заданной последовательности. Ищется распределение этой случайной величины (а точнее, двух величин) и, как следствие, сравнение моментов.
jsjs wrote: 30 Dec 2020 20:39 Марковские цепи - наше всё.
Да, Марковкая цепочка. Однако, если под событием подразумевать выпадение следующего кубика, то получается транзитивная вероятность 1/6 (она же условная вероятность) в силу независимости событий.
Физик-Лирик
Уже с Приветом
Posts: 5104
Joined: 19 Oct 2004 01:46

Re: Игра с кубиками

Post by Физик-Лирик »

Chessplayer wrote: 30 Dec 2020 20:31 Для (1,4) и (4,4) (предположим, что первая комбинация - это поражение, вторая - победа)
существует 3 состояния (state) перед каждым броском кубика:
1. на предыдущем ходе выпала 1.
2. на предыдущем ходе выпала 4.
3. на предыдущем ходе выпала не 1 или 4.

Вероятности переходов между состояниями:
из состояния 3: 1/6 в сост. 1, 1/6 в сост. 2, 4/6 остаться
из состояния 1: 1/6 - lose (выпала 4, как следствие переход в сост 2 запрещен), 5/6 - в сост.3
из состояния 2: 1/6 - win (выпала 4), 1/6 - в сост. 1, 4/6 - в сост. 3.

Как мы видим симметрия нарушена. Можно честно расписать мат ожидание и все посчитать. Но если (1,4) заменить на (1,3), то симметрия восстанавливается - опять появляется переход из состояния 1 в сост. 2.

Как-то так.
Извините, но непонятно. Может быть потому, что мат. ожидание "често не расписано". :D
Chessplayer
Уже с Приветом
Posts: 345
Joined: 27 Nov 2007 05:33

Игра с кубиками

Post by Chessplayer »

Физик-Лирик wrote: Извините, но непонятно. Может быть потому, что мат. ожидание "често не расписано". :D
Попробуйте нарисовать диаграмму переходов. Может быть тогда станет понятнее. Все вероятности переходов я уже привёл. Увидите, что состояния 1 и 2 неэквиваленты. Мат ожидание может вечерком посчитаю.
Физик-Лирик
Уже с Приветом
Posts: 5104
Joined: 19 Oct 2004 01:46

Re: Игра с кубиками

Post by Физик-Лирик »

Chessplayer wrote: 30 Dec 2020 22:55
Физик-Лирик wrote: Извините, но непонятно. Может быть потому, что мат. ожидание "често не расписано". :D
Попробуйте нарисовать диаграмму переходов. Может быть тогда станет понятнее. Все вероятности переходов я уже привёл. Увидите, что состояния 1 и 2 неэквиваленты. Мат ожидание может вечерком посчитаю.
Тогда поясните "переход в состояние 2 запрещен".
Chessplayer
Уже с Приветом
Posts: 345
Joined: 27 Nov 2007 05:33

Re: Игра с кубиками

Post by Chessplayer »

Физик-Лирик wrote: Если вы находясь в состоянии 1, вытягиваете 4, то вы получаете последовательность (1,4) и игра заканчивается - вы проиграли. Т.е. из состояния 1 в состояние 2 попасть нельзя, а вот наоборот можно.


Sent from my iPhone using Tapatalk
User avatar
M. Ridcully
Уже с Приветом
Posts: 12003
Joined: 08 Sep 2006 20:07
Location: Силиконка

Re: Игра с кубиками

Post by M. Ridcully »

Chessplayer wrote: 30 Dec 2020 21:22
M. Ridcully wrote: 30 Dec 2020 21:01 Мат. ожидание как раз будет больше для повторяющихся цифр.
меньше.
Это как?
По-моему очевидно, что частота последовательности 4-4-4 будет больше, чем частота последовательности 1-3-5.

Return to “Головоломки”