Решить уравнение.

и задачки для интервью.
[xyz]
Новичок
Posts: 51
Joined: 30 Sep 2018 03:35

Решить уравнение.

Post by [xyz] »

Image

Наити первое решение уравнения в натуральных числах для х и у, когда х > 10000.
Last edited by [xyz] on 07 Jan 2021 22:50, edited 1 time in total.
User avatar
jsjs
Уже с Приветом
Posts: 19447
Joined: 09 Aug 2009 03:46
Location: Москва->США

Re: Решить уравнение.

Post by jsjs »

Видимо, в натуральных числах?

x=14841
y=25705
蝸牛そろそろ登れ富士の山
veey+

Re: Решить уравнение.

Post by veey+ »

перебором решили? :mrgreen:
[xyz]
Новичок
Posts: 51
Joined: 30 Sep 2018 03:35

Re: Решить уравнение.

Post by [xyz] »

jsjs wrote: 07 Jan 2021 21:10 Видимо, в натуральных числах?

x=14841
y=25705
Спасибо за поправку. Да - это в натуральных числах. Ответ точный ! :D
User avatar
jsjs
Уже с Приветом
Posts: 19447
Joined: 09 Aug 2009 03:46
Location: Москва->США

Re: Решить уравнение.

Post by jsjs »

veey+ wrote: 07 Jan 2021 22:02 перебором решили? :mrgreen:
Естественно. Protiv loma net priyoma. На обычном лаптопе с Матлабом вот этот код исполняется за 3 секунды:

biden=10000;
for x=10001:50000
for y=10001:50000
harris=abs(3*x*(x-1)/(y*(y-1))-1);
if abs(harris)<biden
biden=harris;
fprintf('%5d %5d %30.20f\n',x,y,biden);
end
end
end
蝸牛そろそろ登れ富士の山
[xyz]
Новичок
Posts: 51
Joined: 30 Sep 2018 03:35

Re: Решить уравнение.

Post by [xyz] »

jsjs wrote: Protiv loma net priyoma.
И всё-таки «есть приём против лома».
jsjs попробуйте решить для х > 1 000 000 000 000 000 (10^15)
User avatar
jsjs
Уже с Приветом
Posts: 19447
Joined: 09 Aug 2009 03:46
Location: Москва->США

Re: Решить уравнение.

Post by jsjs »

[xyz] wrote: 08 Jan 2021 01:02
jsjs wrote: Protiv loma net priyoma.
И всё-таки «есть приём против лома».
jsjs попробуйте решить для х > 1 000 000 000 000 000 (10^15)
В подлиннике -- "против лома нет приёма если нет другого лома" :-)
蝸牛そろそろ登れ富士の山
User avatar
jsjs
Уже с Приветом
Posts: 19447
Joined: 09 Aug 2009 03:46
Location: Москва->США

Re: Решить уравнение.

Post by jsjs »

x=1,092,576,704,233,581
Image
蝸牛そろそろ登れ富士の山
[xyz]
Новичок
Posts: 51
Joined: 30 Sep 2018 03:35

Re: Решить уравнение.

Post by [xyz] »

:-) :-) :-)
User avatar
jsjs
Уже с Приветом
Posts: 19447
Joined: 09 Aug 2009 03:46
Location: Москва->США

Re: Решить уравнение.

Post by jsjs »

Немного о химической структуре лома.

На том же Матлабе за несколько минут кодом

biden=10000;
for x=1:1000000
for y=1:1000000
harris=3*x^2-3*x-y^2-y;
if harris==0
fprintf('%10d %10d \n',x,y);
end
end
end

получаем результаты вида

2 2
6 9
21 35
77 132
286 494
1066 1845
3977 6887
14841 25704
55386 95930
206702 358017

Далее смотрим за соотношением x(n+1)/x(n) и наблюдаем, что оно достаточно быстро сходится к чему-то типа 3.73202614379085

По взгляду на цифирки ясно, что это просто
2+sqrt(3)=3.732050807568877

Стало быть, скорее всего, иксы описываются какой-то рекуррентной последовательностью, где
2+sqrt(3) -- наибольший корень соответствующего характеристического многочлена.

Далее, подбираем коэффициенты многочлена и убеждаемся, что рекуррентная последовательность вида
x(n)=5x(n-1)-5x(n-2)+x(n-3)
работает на всех полученных результатах. А это, в свою очередь, формирует базис индукции, после чего в лоб переносится на следующие члены.
蝸牛そろそろ登れ富士の山
[xyz]
Новичок
Posts: 51
Joined: 30 Sep 2018 03:35

Re: Решить уравнение.

Post by [xyz] »

jsjs - Молодец !!!
User avatar
Гоша Хороший
Мистер Привет 2018
Posts: 1853
Joined: 03 Dec 2017 20:31
Location: 3.14ter -> 1qver

Re: Решить уравнение.

Post by Гоша Хороший »

формулу можно получить аналитически. те же квадратные уравнения (8-класс)

3(x^2-x) = y^2-y
если числа натуральные, то
y=x+N
получим
2x^2-2(1+N)x-N(N-1)=0
a=2; b=-2(1+N); c=-N(N-1);
D=4(3N^2+1)
x=(1+N+sqrt(3N^2+1))/2

если N=1, то х=2 и y=3. это 1-е решение
если N>1000, N=10864, то x=14841, y=25705
и т.д

но перебор нужен (числитель должен быть четным)
Гоша хороший, а Маша еще лучше
User avatar
jsjs
Уже с Приветом
Posts: 19447
Joined: 09 Aug 2009 03:46
Location: Москва->США

Re: Решить уравнение.

Post by jsjs »

Формула для n-go члена последовательности x(n) в явном виде, без перебора и без рекуррентности:

x(n)=(6+(3+biden)*(2+biden)^(n-1) + (3-biden)*(2-biden)^(n-1))/12,

где biden=sqrt(3).
蝸牛そろそろ登れ富士の山
User avatar
kyk
Уже с Приветом
Posts: 31438
Joined: 21 Nov 2004 05:12
Location: камбуз на кампусе

Re: Решить уравнение.

Post by kyk »

jsjs wrote: 08 Jan 2021 03:55 x=1,092,576,704,233,581
предложИте Бидену свои услуги :good:
Лучше переесть, чем недоспать! © Обратное тоже верно :umnik1:
User avatar
jsjs
Уже с Приветом
Posts: 19447
Joined: 09 Aug 2009 03:46
Location: Москва->США

Re: Решить уравнение.

Post by jsjs »

kyk wrote: 10 Jan 2021 02:41
jsjs wrote: 08 Jan 2021 03:55 x=1,092,576,704,233,581
предложИте Бидену свои услуги :good:
"В Красной Армии штыки чай найдутся, без тебя большевики обойдутся"
蝸牛そろそろ登れ富士の山
User avatar
Гоша Хороший
Мистер Привет 2018
Posts: 1853
Joined: 03 Dec 2017 20:31
Location: 3.14ter -> 1qver

Re: Решить уравнение.

Post by Гоша Хороший »

jsjs wrote: 10 Jan 2021 00:54 Формула для n-go члена последовательности x(n) в явном виде, без перебора и без рекуррентности:

x(n)=(6+(3+biden)*(2+biden)^(n-1) + (3-biden)*(2-biden)^(n-1))/12,

где biden=sqrt(3).
думаю, что это просто апроксимация. формула не получена аналитическим путем. она проваливается после n=17, не дает всех решений, многие решения пропущены (например, x=179006125, y=310047703), формула дает ненатуралтьные числа (n = 26, x=78443478040201.9) и показывает сомнительные (для меня) решения (n=18 2084377906, y=???)

мой алгоритм работает в n/миллион раз быстрее (для n=1000000) поэтому все очень быстро проверил. хотя, может быть, и ошибся

кому не лень, может проверить (C#)


long MAX = 10000000000000;
//gosha algorithm
DateTime start = DateTime.Now;
double x, ch;
for (long N = 1; N < MAX; N++)
{
ch = (1 + N + Math.Sqrt(3 * Math.Pow(N, 2) + 1));
x = ch / 2;
if (ch % 2 == 0)
Console.WriteLine("N={0}, x={1}, y={2}", N, x, x + N);
}
DateTime end = DateTime.Now;
Console.WriteLine("gosha calculation total time: " + (end - start).TotalSeconds);
---------------------------------------------------------------
//jsjs formula
double biden = Math.Sqrt(3);
for (int n = 1; n < 50; n++)
{
double x = (6 + (3 + biden) * Math.Pow(2 + biden, n - 1) + (3 - biden) * Math.Pow(2 - biden, n - 1)) / 12;
Console.WriteLine("n={0}, x={1} ", n, x);
}
Гоша хороший, а Маша еще лучше
User avatar
Гоша Хороший
Мистер Привет 2018
Posts: 1853
Joined: 03 Dec 2017 20:31
Location: 3.14ter -> 1qver

Re: Решить уравнение.

Post by Гоша Хороший »

решения по jsjs формуле (мое программрование)
n = 1, x=1
n = 2, x=2
n = 3, x=6
n = 4, x=21
n = 5, x=77
n = 6, x=286
n = 7, x=1066
n = 8, x=3977
n = 9, x=14841
n = 10, x=55386
n = 11, x=206702
n = 12, x=771421
n = 13, x=2878981
n = 14, x=10744502
n = 15, x=40099026
n = 16, x=149651601
n = 17, x=558507377
n = 18, x=2084377906
n = 19, x=7779004246
n = 20, x=29031639077
n = 21, x=108347552061
n = 22, x=404358569166
n = 23, x=1509086724602
n = 24, x=5631988329241
n = 25, x=21018866592361
n = 26, x=78443478040201.9
n = 27, x=292755045568446
n = 28, x=1.09257670423358E+15
n = 29, x=4.07755177136587E+15
n = 30, x=1.52176303812299E+16
n = 31, x=5.67929697535538E+16
n = 32, x=2.11954248632985E+17
n = 33, x=7.91024024778387E+17
n = 34, x=2.95214185048056E+18
n = 35, x=1.10175433771439E+19
n = 36, x=4.11180316580949E+19
n = 37, x=1.53454583255236E+20
n = 38, x=5.72700301362848E+20
n = 39, x=2.13734662219616E+21
n = 40, x=7.97668618742177E+21
n = 41, x=2.97693981274909E+22
n = 42, x=1.11100906322542E+23
n = 43, x=4.14634227162677E+23
n = 44, x=1.54743600232817E+24
n = 45, x=5.77510978214999E+24
n = 46, x=2.15530031262718E+25
n = 47, x=8.04369027229371E+25
n = 48, x=3.00194607765477E+26
n = 49, x=1.12034152833897E+27
--------------

мои ответы (остановил прогу на полпути , их очень много)
N= 1, x=2, y=3
N= 4, x=6, y=10
N= 15, x=21, y=36
N= 56, x=77, y=133
N= 209, x=286, y=495
N= 780, x=1066, y=1846
N= 2911, x=3977, y=6888
N= 10864, x=14841, y=25705
N= 40545, x=55386, y=95931
N= 151316, x=206702, y=358018
N= 564719, x=771421, y=1336140
N= 2107560, x=2878981, y=4986541
N= 7865521, x=10744502, y=18610023
N= 29354524, x=40099026, y=69453550
N= 109552575, x=149651601, y=259204176
N= 131041578, x=179006125, y=310047703
N= 168261623, x=229849652, y=398111275
N= 189750626, x=259204176, y=448954802
N= 205481668, x=280693179, y=486174847
N= 211239629, x=288558700, y=499798329
N= 226970671, x=310047703, y=537018374
N= 232728632, x=317913224, y=550641856
N= 248459674, x=339402227, y=587861901
N= 264190716, x=360891230, y=625081946
N= 269948677, x=368756751, y=638705428
N= 285679719, x=390245754, y=675925473
N= 291437680, x=398111275, y=689548955
N= 307168722, x=419600278, y=726769000
N= 312926683, x=427465799, y=740392482
N= 328657725, x=448954802, y=777612527
N= 350146728, x=478309326, y=828456054
N= 371635731, x=507663850, y=879299581
N= 387366773, x=529152853, y=916519626
N= 393124734, x=537018374, y=930143108
N= 403097815, x=550641856, y=953739671
N= 408855776, x=558507377, y=967363153
N= 414613737, x=566372898, y=980986635
N= 418828857, x=572130859, y=990959716
N= 424586818, x=579996380, y=1004583198
N= 430344779, x=587861901, y=1018206680
N= 436102740, x=595727422, y=1031830162
N= 440317860, x=601485383, y=1041803243
N= 441860701, x=603592943, y=1045453644
N= 446075821, x=609350904, y=1055426725
N= 451833782, x=617216425, y=1069050207
N= 457591743, x=625081946, y=1082673689
N= 461806863, x=630839907, y=1092646770
N= 467564824, x=638705428, y=1106270252
N= 473322785, x=646570949, y=1119893734
N= 479080746, x=654436470, y=1133517216
N= 483295866, x=660194431, y=1143490297
N= 489053827, x=668059952, y=1157113779
N= 494811788, x=675925473, y=1170737261
N= 504784869, x=689548955, y=1194333824
N= 510542830, x=697414476, y=1207957306
N= 516300791, x=705279997, y=1221580788
N= 520515911, x=711037958, y=1231553869
Гоша хороший, а Маша еще лучше
User avatar
jsjs
Уже с Приветом
Posts: 19447
Joined: 09 Aug 2009 03:46
Location: Москва->США

Re: Решить уравнение.

Post by jsjs »

Это была формула для n-go члена рекуррентной последовательности x(n)=5x(n-1)-5x(n-2)+x(n-3), которая, как оказалось, образует всего лишь *подмножество* всех решений.

Ненатуральных чисел эта формула, однако, всё же не даёт; просто там у Вас видимо, недостаточная точность начинается для больших значений "n". Конкретно на Матлабе со 100 десятичными знаками имеем:

digitsOld = digits(100);

biden=vpa(sqrt(3))

biden =

1.732050807568877293527446341505872366942805253810380628055806979451933016908800037081146186757248576

n=26; vpa((6+(3+biden)*(2+biden)^(n-1) + (3-biden)*(2-biden)^(n-1))/12)

ans =

78443478040202.0

Здесь "vpa" -- это специально для таких операций: https://www.mathworks.com/help/symbolic/digits.html

Касательно Вашего вопроса " сомнительные (для меня) решения (n=18 2084377906, y=???)":

x=2084377906
y=3610248435
蝸牛そろそろ登れ富士の山
User avatar
Гоша Хороший
Мистер Привет 2018
Posts: 1853
Joined: 03 Dec 2017 20:31
Location: 3.14ter -> 1qver

Re: Решить уравнение.

Post by Гоша Хороший »

jsjs wrote: 11 Jan 2021 04:00 x=2084377906
y=3610248435
это пара чисел годится. у мeня тоже такая есть. я ее сперва не нашел потому, что "прогу остановил на полпути". большое число.
сейчас опять запустил прогу, но подольше. там эти числа есть. файл приаттачил, но он опять не полный ("прогу остановил на полпути")

на мой поверхностный взгляд, у вас много пропущенных решений после n=17. я приводил пример. см. мой файл.

вопрос: как вы получили эту формулу для х? с помощью пера и бумаги или компьютер подсказал/аппроксимировал?
You do not have the required permissions to view the files attached to this post.
Гоша хороший, а Маша еще лучше
User avatar
jsjs
Уже с Приветом
Posts: 19447
Joined: 09 Aug 2009 03:46
Location: Москва->США

Re: Решить уравнение.

Post by jsjs »

Гоша Хороший wrote: 11 Jan 2021 05:03
jsjs wrote: 11 Jan 2021 04:00 x=2084377906
y=3610248435
это пара чисел годится. у мeня тоже такая есть. я ее сперва не нашел потому, что "прогу остановил на полпути". большое число.
сейчас опять запустил прогу, но подольше. там эти числа есть. файл приаттачил, но он опять не полный ("прогу остановил на полпути")

на мой поверхностный взгляд, у вас много пропущенных решений после n=17. я приводил пример. см. мой файл.

вопрос: как вы получили эту формулу для х? с помощью пера и бумаги или компьютер подсказал/аппроксимировал?
Если есть линейная рекуррентая последовательность, то ее общий член -- это линейная комбинация степенных функций от корней характеристческого многочлена. Коэффициенты этой линейной комбинации вычисляются как решение системы линейных уравнений, построенной с помощью первых нескольких членов этой самой рекуррентной последовательности. Вот гляньте сюда: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation

Кстати, это просто дискретный аналог линейных дифуров -- там тоже решение будет линейной комбинацией экспонент (вместо степенных функций) с показателями взятыми из корней характеристического многочлена.
蝸牛そろそろ登れ富士の山
User avatar
Гоша Хороший
Мистер Привет 2018
Posts: 1853
Joined: 03 Dec 2017 20:31
Location: 3.14ter -> 1qver

Re: Решить уравнение.

Post by Гоша Хороший »

jsjs, понял, что это формула получена не "на кончике пера" и думаю, что ее нельзя использовать как общее решение. она не находит всех пар чисел. она верна для малых n. и это не аналитическое решение. это - аппроксимация. это формула не работает для всех n. согласны?

взял 2 последовательных ваших решения
n = 17, x=558507377
n = 18, x=2084377906

у меня между этими числами (558507377 и 2084377906) есть еще около 300 решений (правильных пар чисел, см. ниже), но по вашей формуле они отсутсвуют.

мне просто было интересно, можно ли это уравнение решить аналитически? похоже, что нет

у вас был правильный алгоритм в начале, но он был слишком медленный - цикл в циклe (n^2). я предложил аналитическое решение через параметр - просто цикл (n). это в миллион раз быстрее (для n=миллион) [или одна десятая секунды против суток вычислений] и в миллиард раз быстрее (для n=миллиард)

на мой взгляд, перебор - это более правильное решение, чем аппроксимация.

и в том, и в другом случае используется компьютер, но перебор дает все решения, а аппроксимация - только избранные

вот список обещанных пропущенных решений между n=17 и 18 (между n=18 и 19 их должно быть еще больше)

N=414613737, x=566372898, y=980986635
N=418828857, x=572130859, y=990959716
N=424586818, x=579996380, y=1004583198
N=430344779, x=587861901, y=1018206680
N=436102740, x=595727422, y=1031830162
N=440317860, x=601485383, y=1041803243
N=441860701, x=603592943, y=1045453644
N=446075821, x=609350904, y=1055426725
N=451833782, x=617216425, y=1069050207
N=457591743, x=625081946, y=1082673689
N=461806863, x=630839907, y=1092646770
N=467564824, x=638705428, y=1106270252
N=473322785, x=646570949, y=1119893734
N=479080746, x=654436470, y=1133517216
N=483295866, x=660194431, y=1143490297
N=489053827, x=668059952, y=1157113779
N=494811788, x=675925473, y=1170737261
N=504784869, x=689548955, y=1194333824
N=510542830, x=697414476, y=1207957306
N=516300791, x=705279997, y=1221580788
N=520515911, x=711037958, y=1231553869
N=526273872, x=718903479, y=1245177351
N=532031833, x=726769000, y=1258800833
N=536246953, x=732526961, y=1268773914
N=537789794, x=734634521, y=1272424315
N=542004914, x=740392482, y=1282397396
N=547762875, x=748258003, y=1296020878
N=553520836, x=756123524, y=1309644360
N=563493917, x=769747006, y=1333240923
N=569251878, x=777612527, y=1346864405
N=575009839, x=785478048, y=1360487887
N=579224959, x=791236009, y=1370460968
N=584982920, x=799101530, y=1384084450
N=590740881, x=806967051, y=1397707932
N=596498842, x=814832572, y=1411331414
N=600713962, x=820590533, y=1421304495
N=606471923, x=828456054, y=1434927977
N=612229884, x=836321575, y=1448551459
N=617987845, x=844187096, y=1462174941
N=622202965, x=849945057, y=1472148022
N=627960926, x=857810578, y=1485771504
N=633718887, x=865676099, y=1499394986
N=643691968, x=879299581, y=1522991549
N=649449929, x=887165102, y=1536615031
N=659423010, x=900788584, y=1560211594
N=665180971, x=908654105, y=1573835076
N=670938932, x=916519626, y=1587458558
N=686669974, x=938008629, y=1624678603
N=692427935, x=945874150, y=1638302085
N=702401016, x=959497632, y=1661898648
N=708158977, x=967363153, y=1675522130
N=723890019, x=988852156, y=1712742175
N=729647980, x=996717677, y=1726365657
N=735405941, x=1004583198, y=1739989139
N=745379022, x=1018206680, y=1763585702
N=751136983, x=1026072201, y=1777209184
N=761110064, x=1039695683, y=1800805747
N=766868025, x=1047561204, y=1814429229
N=772625986, x=1055426725, y=1828052711
N=782599067, x=1069050207, y=1851649274
N=788357028, x=1076915728, y=1865272756
N=792572148, x=1082673689, y=1875245837
N=794114989, x=1084781249, y=1878896238
N=798330109, x=1090539210, y=1888869319
N=799872950, x=1092646770, y=1892519720
N=804088070, x=1098404731, y=1902492801
N=805630911, x=1100512291, y=1906143202
N=808303190, x=1104162692, y=1912465882
N=809846031, x=1106270252, y=1916116283
N=811388872, x=1108377812, y=1919766684
N=814061151, x=1112028213, y=1926089364
N=815603992, x=1114135773, y=1929739765
N=819819112, x=1119893734, y=1939712846
N=821361953, x=1122001294, y=1943363247
N=825577073, x=1127759255, y=1953336328
N=831335034, x=1135624776, y=1966959810
N=835550154, x=1141382737, y=1976932891
N=837092995, x=1143490297, y=1980583292
N=841308115, x=1149248258, y=1990556373
N=842850956, x=1151355818, y=1994206774
N=845523235, x=1155006219, y=2000529454
N=847066076, x=1157113779, y=2004179855
N=848608917, x=1159221339, y=2007830256
N=851281196, x=1162871740, y=2014152936
N=852824037, x=1164979300, y=2017803337
N=857039157, x=1170737261, y=2027776418
N=858581998, x=1172844821, y=2031426819
N=862797118, x=1178602782, y=2041399900
N=867012238, x=1184360743, y=2051372981
N=868555079, x=1186468303, y=2055023382
N=872770199, x=1192226264, y=2064996463
N=874313040, x=1194333824, y=2068646864
N=878528160, x=1200091785, y=2078619945
N=880071001, x=1202199345, y=2082270346
N=882743280, x=1205849746, y=2088593026
N=884286121, x=1207957306, y=2092243427
N=885828962, x=1210064866, y=2095893828
N=890044082, x=1215822827, y=2105866909
N=894259202, x=1221580788, y=2115839990
N=895802043, x=1223688348, y=2119490391
N=900017163, x=1229446309, y=2129463472
N=901560004, x=1231553869, y=2133113873
N=904232283, x=1235204270, y=2139436553
N=905775124, x=1237311830, y=2143086954
N=907317965, x=1239419390, y=2146737355
N=911533085, x=1245177351, y=2156710436
N=915748205, x=1250935312, y=2166683517
N=917291046, x=1253042872, y=2170333918
N=921506166, x=1258800833, y=2180306999
N=923049007, x=1260908393, y=2183957400
N=925721286, x=1264558794, y=2190280080
N=927264127, x=1266666354, y=2193930481
N=928806968, x=1268773914, y=2197580882
N=931479247, x=1272424315, y=2203903562
N=933022088, x=1274531875, y=2207553963
N=937237208, x=1280289836, y=2217527044
N=938780049, x=1282397396, y=2221177445
N=942995169, x=1288155357, y=2231150526
N=944538010, x=1290262917, y=2234800927
N=948753130, x=1296020878, y=2244774008
N=952968250, x=1301778839, y=2254747089
N=954511091, x=1303886399, y=2258397490
N=958726211, x=1309644360, y=2268370571
N=960269052, x=1311751920, y=2272020972
N=964484172, x=1317509881, y=2281994053
N=966027013, x=1319617441, y=2285644454
N=970242133, x=1325375402, y=2295617535
N=974457253, x=1331133363, y=2305590616
N=976000094, x=1333240923, y=2309241017
N=980215214, x=1338998884, y=2319214098
N=981758055, x=1341106444, y=2322864499
N=985973175, x=1346864405, y=2332837580
N=990188295, x=1352622366, y=2342810661
N=991731136, x=1354729926, y=2346461062
N=995946256, x=1360487887, y=2356434143
N=997489097, x=1362595447, y=2360084544
N=1001704217, x=1368353408, y=2370057625
N=1007462178, x=1376218929, y=2383681107
N=1011677298, x=1381976890, y=2393654188
N=1013220139, x=1384084450, y=2397304589
N=1017435259, x=1389842411, y=2407277670
N=1018978100, x=1391949971, y=2410928071
N=1023193220, x=1397707932, y=2420901152
N=1024736061, x=1399815492, y=2424551553
N=1028951181, x=1405573453, y=2434524634
N=1030494022, x=1407681013, y=2438175035
N=1033166301, x=1411331414, y=2444497715
N=1034709142, x=1413438974, y=2448148116
N=1038924262, x=1419196935, y=2458121197
N=1040467103, x=1421304495, y=2461771598
N=1044682223, x=1427062456, y=2471744679
N=1046225064, x=1429170016, y=2475395080
N=1048897343, x=1432820417, y=2481717760
N=1050440184, x=1434927977, y=2485368161
N=1054655304, x=1440685938, y=2495341242
N=1056198145, x=1442793498, y=2498991643
N=1060413265, x=1448551459, y=2508964724
N=1061956106, x=1450659019, y=2512615125
N=1066171226, x=1456416980, y=2522588206
N=1067714067, x=1458524540, y=2526238607
N=1070386346, x=1462174941, y=2532561287
N=1071929187, x=1464282501, y=2536211688
N=1076144307, x=1470040462, y=2546184769
N=1077687148, x=1472148022, y=2549835170
N=1081902268, x=1477905983, y=2559808251
N=1083445109, x=1480013543, y=2563458652
N=1086117388, x=1483663944, y=2569781332
N=1087660229, x=1485771504, y=2573431733
N=1091875349, x=1491529465, y=2583404814
N=1093418190, x=1493637025, y=2587055215
N=1097633310, x=1499394986, y=2597028296
N=1103391271, x=1507260507, y=2610651778
N=1104934112, x=1509368067, y=2614302179
N=1107606391, x=1513018468, y=2620624859
N=1109149232, x=1515126028, y=2624275260
N=1113364352, x=1520883989, y=2634248341
N=1114907193, x=1522991549, y=2637898742
N=1119122313, x=1528749510, y=2647871823
N=1120665154, x=1530857070, y=2651522224
N=1124880274, x=1536615031, y=2661495305
N=1126423115, x=1538722591, y=2665145706
N=1129095394, x=1542372992, y=2671468386
N=1130638235, x=1544480552, y=2675118787
N=1134853355, x=1550238513, y=2685091868
N=1136396196, x=1552346073, y=2688742269
N=1140611316, x=1558104034, y=2698715350
N=1142154157, x=1560211594, y=2702365751
N=1146369277, x=1565969555, y=2712338832
N=1147912118, x=1568077115, y=2715989233
N=1152127238, x=1573835076, y=2725962314
N=1156342358, x=1579593037, y=2735935395
N=1157885199, x=1581700597, y=2739585796
N=1162100319, x=1587458558, y=2749558877
N=1163643160, x=1589566118, y=2753209278
N=1166315439, x=1593216519, y=2759531958
N=1167858280, x=1595324079, y=2763182359
N=1169401121, x=1597431639, y=2766832760
N=1172073400, x=1601082040, y=2773155440
N=1173616241, x=1603189600, y=2776805841
N=1177831361, x=1608947561, y=2786778922
N=1179374202, x=1611055121, y=2790429323
N=1183589322, x=1616813082, y=2800402404
N=1185132163, x=1618920642, y=2804052805
N=1187804442, x=1622571043, y=2810375485
N=1189347283, x=1624678603, y=2814025886
N=1193562403, x=1630436564, y=2823998967
N=1195105244, x=1632544124, y=2827649368
N=1199320364, x=1638302085, y=2837622449
N=1200863205, x=1640409645, y=2841272850
N=1205078325, x=1646167606, y=2851245931
N=1209293445, x=1651925567, y=2861219012
N=1210836286, x=1654033127, y=2864869413
N=1215051406, x=1659791088, y=2874842494
N=1216594247, x=1661898648, y=2878492895
N=1219266526, x=1665549049, y=2884815575
N=1220809367, x=1667656609, y=2888465976
N=1222352208, x=1669764169, y=2892116377
N=1226567328, x=1675522130, y=2902089458
N=1230782448, x=1681280091, y=2912062539
N=1232325289, x=1683387651, y=2915712940
N=1236540409, x=1689145612, y=2925686021
N=1238083250, x=1691253172, y=2929336422
N=1242298370, x=1697011133, y=2939309503
N=1248056331, x=1704876654, y=2952932985
N=1258029412, x=1718500136, y=2976529548
N=1259572253, x=1720607696, y=2980179949
N=1263787373, x=1726365657, y=2990153030
N=1269545334, x=1734231178, y=3003776512
N=1273760454, x=1739989139, y=3013749593
N=1275303295, x=1742096699, y=3017399994
N=1281061256, x=1749962220, y=3031023476
N=1285276376, x=1755720181, y=3040996557
N=1291034337, x=1763585702, y=3054620039
N=1295249457, x=1769343663, y=3064593120
N=1296792298, x=1771451223, y=3068243521
N=1301007418, x=1777209184, y=3078216602
N=1306765379, x=1785074705, y=3091840084
N=1310980499, x=1790832666, y=3101813165
N=1312523340, x=1792940226, y=3105463566
N=1316738460, x=1798698187, y=3115436647
N=1318281301, x=1800805747, y=3119087048
N=1322496421, x=1806563708, y=3129060129
N=1328254382, x=1814429229, y=3142683611
N=1334012343, x=1822294750, y=3156307093
N=1338227463, x=1828052711, y=3166280174
N=1339770304, x=1830160271, y=3169930575
N=1343985424, x=1835918232, y=3179903656
N=1349743385, x=1843783753, y=3193527138
N=1359716466, x=1857407235, y=3217123701
N=1365474427, x=1865272756, y=3230747183
N=1371232388, x=1873138277, y=3244370665
N=1375447508, x=1878896238, y=3254343746
N=1376990349, x=1881003798, y=3257994147
N=1381205469, x=1886761759, y=3267967228
N=1386963430, x=1894627280, y=3281590710
N=1392721391, x=1902492801, y=3295214192
N=1396936511, x=1908250762, y=3305187273
N=1398479352, x=1910358322, y=3308837674
N=1402694472, x=1916116283, y=3318810755
N=1408452433, x=1923981804, y=3332434237
N=1412667553, x=1929739765, y=3342407318
N=1414210394, x=1931847325, y=3346057719
N=1418425514, x=1937605286, y=3356030800
N=1419968355, x=1939712846, y=3359681201
N=1424183475, x=1945470807, y=3369654282
N=1429941436, x=1953336328, y=3383277764
N=1434156556, x=1959094289, y=3393250845
N=1435699397, x=1961201849, y=3396901246
N=1439914517, x=1966959810, y=3406874327
N=1441457358, x=1969067370, y=3410524728
N=1445672478, x=1974825331, y=3420497809
N=1451430439, x=1982690852, y=3434121291
N=1455645559, x=1988448813, y=3444094372
N=1461403520, x=1996314334, y=3457717854
N=1467161481, x=2004179855, y=3471341336
N=1472919442, x=2012045376, y=3484964818
N=1477134562, x=2017803337, y=3494937899
N=1482892523, x=2025668858, y=3508561381
N=1487107643, x=2031426819, y=3518534462
N=1488650484, x=2033534379, y=3522184863
N=1492865604, x=2039292340, y=3532157944
N=1498623565, x=2047157861, y=3545781426
N=1500166406, x=2049265421, y=3549431827
N=1504381526, x=2055023382, y=3559404908
N=1510139487, x=2062888903, y=3573028390
N=1514354607, x=2068646864, y=3583001471
N=1515897448, x=2070754424, y=3586651872
N=1520112568, x=2076512385, y=3596624953
N=1521655409, x=2078619945, y=3600275354
Гоша хороший, а Маша еще лучше
User avatar
jsjs
Уже с Приветом
Posts: 19447
Joined: 09 Aug 2009 03:46
Location: Москва->США

Re: Решить уравнение.

Post by jsjs »

Гоша Хороший wrote: 11 Jan 2021 07:43 jsjs, понял, что это формула получена не "на кончике пера" и думаю, что ее нельзя использовать как общее решение. она не находит всех пар чисел. она верна для малых n. и это не аналитическое решение. это - аппроксимация. это формула не работает для всех n. согласны?

взял 2 последовательных ваших решения
n = 17, x=558507377
n = 18, x=2084377906

у меня между этими числами (558507377 и 2084377906) есть еще около 300 решений (правильных пар чисел, см. ниже), но по вашей формуле они отсутсвуют.

мне просто было интересно, можно ли это уравнение решить аналитически? похоже, что нет
...
Про общее решение я не думал -- моя рекуррентная формула для "ветки" решений, которая является (как Вы установили) подмножеством всех решений. Ветка построена по индукции (рекурентно) из начального десятка решений. После n=17, как Вы установили, начинают расти другие ветки -- или даже целый "куст".
蝸牛そろそろ登れ富士の山
User avatar
lexell
Уже с Приветом
Posts: 4812
Joined: 04 Dec 2006 14:28
Location: Australia

Re: Решить уравнение.

Post by lexell »

Существуют ли 8 различных натуральных чисел a, b, c, d, e, f, g, h что справедливо равенство
(а+b+c+d+e+f+g+h) / (1/a + 1/b +1/c + 1/d + 1/e + 1/f + 1/g + 1/h) = 2022 ?

Задачка с олимпиады 8-го класса. Решение аналитическим методом.


Image
User avatar
assassello
Posts: 6
Joined: 27 Jul 2020 04:19

Re: Решить уравнение.

Post by assassello »

lexell wrote: 11 Feb 2022 19:33 Существуют ли 8 различных натуральных чисел a, b, c, d, e, f, g, h что справедливо равенство
(а+b+c+d+e+f+g+h) / (1/a + 1/b +1/c + 1/d + 1/e + 1/f + 1/g + 1/h) = 2022 ?

Задачка с олимпиады 8-го класса. Решение аналитическим методом.


Image
a+b+c+d+e+f+g+h=2022/a+2022/b+2022/c+2022/d+2022/e+2022/f+2022/g+2022/h
if a==2022/b => b=2022/a
a=1 b=2022 c=2 d=1011 e=3 f=674 g=6 h=337
User avatar
lexell
Уже с Приветом
Posts: 4812
Joined: 04 Dec 2006 14:28
Location: Australia

Re: Решить уравнение.

Post by lexell »

Мне попалась задачки, которыми заваливали неугодных поступающих на мехмат МГУ в 80-ые. Неугодные были евреи. Задачки назвали гробовыми. Пишут победителей олимпиад и медалистов заваливали.

Задачка из списка

Доказать неравенство 1/(sinx)^2 <= 1/x^2 +1-4/pi^2 для действительных чисел x на интервале (0; pi/2]

У кого есть нестандартные решения?

Return to “Головоломки”