Неявная функция - помогите разобраться

GeneX · Post by **GeneX** » 18 Dec 2005 21:36

Не знаю если это правильное место для такого типа вопросов... Мне нужно решить такую проблему на завтра:
Дано x^2+xy+ay^2=b. Если a=1 и b=7, найдите 2 x-intercepts (точки пересечения). Я так понимаю что нужно задать у=0 и узнать чему х равно в этих двух случаях, но неявные функции ставят меня в тупик.
Я был бы благодарен за помощь.

GalinaF · Post by **GalinaF** » 18 Dec 2005 23:05

Пусть меня математики поправят, если я ошибаюсь, но у Вас наклонённый эллипс: под 45 градусов к обычным осям. Вам график надо рисовать? А х-intercept так и ищется: у=0. х = +  7, х = -  7.

DanielMa · Post by **DanielMa** » 18 Dec 2005 23:08

A что такое неявная функция? Если y=0, to функция становиться Х^2=7. X1=+SQRT(7);X2=-SQRT(7).

Иоп · Post by **Иоп** » 18 Dec 2005 23:55

Неявная функция, говоря простым языком, это мешанина эксов и вайев, из которой нифига не понятно как выразить одно через другое.

Я вот подумал, а удовлетворит ли препода графическое решение? Может быть требуется сделать функцию явной? Если так, то нужно переходить в полярную систему.

GeneX · Post by **GeneX** » 19 Dec 2005 00:07

Спасибо за ответы, теперь я вижу что это был довольно простой вопрос. GalinaF, пожалуйста нарисуйте график, визуал всегда помогает мне. Мне надо ещё доказать что обе tangent lines (касательные) для этих x значений на эллипсе параллельны друг другу.
А неявная функция, это перевод implicit equation, что означает любую функцию которая не решена для y. Пример: x^2=x+y^2.

DanielMa · Post by **DanielMa** » 19 Dec 2005 00:31

GeneX wrote:Мне надо ещё доказать что обе tangent lines (касательные) для этих x значений на эллипсе параллельны друг другу.

A тут наверно надо производную посчитать. A вы с нами своей пятеркой поделитесь?

GeneX · Post by **GeneX** » 19 Dec 2005 00:54

Производная, да. Вот моя работа:

d/dx(x^2+xy+y^2=7) = 2x+y+xy'+2yy'=0
y'(2y+x)=2x+y
y'=(2x+y)/(2y+x)
Но как показать что касательные равны друг другу?
Ведь (2(-sqrt7))/((-sqrt7)+2y) и (y+2(sqrt7))/((sqrt7)+2y) не равны. Что-то тут не сходится.

GalinaF · Post by **GalinaF** » 19 Dec 2005 01:11

Ну, нарисовать я на бумажке могу… это Вам к математикам надо. Короче, если Вам не по точкам, а общую картинку представить, то нарисуйте букву О – вертикальный овал. А потом поверните эту букву налево, так, чтобы она была во II и IV квадрантах.

Ну, теперь Вам надо посчитать полный дифференциал (забыла как называется):

(2х + у) dx + (x+2y) dy = 0

dy/dx = - (2x + y) / (x + 2y) – slope of a tangent

(dy/dx) ((7, 0)) = - 2

То же самое для второй точки (-7, 0). Когда slopes одинаковы, линии параллельны.

GalinaF · Post by **GalinaF** » 19 Dec 2005 01:18

Вы минус потеряли, но главное, что у =0 надо подставлять тоже. А в остальном - всё хорошо...

arap · Post by **arap** » 19 Dec 2005 02:48

GeneX wrote:Производная, да. Вот моя работа:

d/dx(x^2+xy+y^2=7) = 2x+y+xy'+2yy'=0
y'(2y+x)=2x+y
y'=(2x+y)/(2y+x)
Но как показать что касательные равны друг другу?
Ведь (2(-sqrt7))/((-sqrt7)+2y) и (y+2(sqrt7))/((sqrt7)+2y) не равны. Что-то тут не сходится.

Касательные в (-SQRT(7), 0) и в (SQRT(7), 0) параллельны, если производные в этих точках равны.

y'(x) = (2x+y)/(2y+x) ->

y'(-SQRT(7)) = (2*(-SQRT(7) + 0)/(2*0 - SQRT(7)) = 2
y'(SQRT(7)) = (2*(SQRT(7) + 0)/(2*0 + SQRT(7)) = 2

GeneX · Post by **GeneX** » 20 Dec 2005 00:26

Спасибо всем, я разобрался что к чему.
DanielMa, пятерки мне не ставят, как насчёт "A"?