Игра в орлянку (про stock market, risk management...)

[dimp]

Задачка №1. У вас есть волшебная монетка при подбрасывании которой с вероятностью 0.6 выпадает задуманная вами сторона. Также у вас есть сто долларов. Вам предстоит очень долгая игра в орлянку. Какова ваша стратегия ставок? На каждый бросок можно ставить любую сумму, дискретностью денег можно принебречь.

Задачка №2. Двое (Игрок и Банкир) играют в такую игру. Игрок бросает монетку. При выпадании орла Банкир платит Игроку 1 цент, при повторном выпадании орла - 2 цента, далее - 4, 8, 16 и т.д. Игра прекращается при первом же выпадании решки. Сколько Банкир должен брать денег у Игрока перед началом игры, чтобы игра была выгодна для Банкира? Сколько бы вы лично заплатили за право сыграть в эту игру в качестве Игрока, и сколько бы брали с игроков, будучи Банкиром?

Задачка №1 имеет отношение к risk management, asset allocation и тому подобным вещам.
Задачка №2 несмотря на математически простой ответ на первый вопрос приводит к нектоторому парадоксу при ответе на последующие два вопроса и имеет прямое отношение страховым компаниям (вернее, к самому факту их существования).

[vaduz]

1) Если ставить по 1/50 от суммы, то вряд ли можно проиграть за время, сопоставимое со временем существования вселенной.

[dimp]

1) Если ставить по 1/50 от суммы, то вряд ли можно проиграть за время, сопоставимое со временем существования вселенной.

Других вариантов ответа не будет?

[vaduz]

1) Если ставить по 1/50 от суммы, то вряд ли можно проиграть за время, сопоставимое со временем существования вселенной.

Других вариантов ответа не будет?

А что вы хотите услышать?

Я лично человек неторопливый и не жадный, вполне могу сыграть 5-7 тыс партий. Триллиона баксов мне за глаза хватит...

[dimp]

А что вы хотите услышать?

Я лично человек неторопливый и не жадный, вполне могу сыграть 5-7 тыс партий. Триллиона баксов мне за глаза хватит...

Хотелось бы услышать разумное объяснение, почему нужно ставить 1/50, а не 1/60 или 1/40.
Если вопрос в достаточности (я, кстати, надеялся о ней поговорить, но применительно ко второй задаче) то пусть будет не 100 долларов, а 1 цент и 1000 игр.

[vaduz]

Хотелось бы услышать разумное объяснение, почему нужно ставить 1/50, а не 1/60 или 1/40.
Если вопрос в достаточности ... то пусть будет не 100 долларов, а 1 цент и 1000 игр.

Ну, если цель - максимизировать выигрыш при ограниченном числе бросков, то при указанной стратегии имеем:

За N игр начальная сумма умножится в такое количество раз:
Y = (1-Х)^[N*(1-P)] * (1+Х)^[N*P];

Максимум Y достигается при Х=2P-1

Т.е. для нашего случая Х=0.2

[dimp]

Хотелось бы услышать разумное объяснение, почему нужно ставить 1/50, а не 1/60 или 1/40.
Если вопрос в достаточности ... то пусть будет не 100 долларов, а 1 цент и 1000 игр.

Ну, если цель - максимизировать выигрыш при ограниченном числе бросков, то при указанной стратегии имеем:

За N игр начальная сумма умножится в такое количество раз:
Y = (1-Х)^[N*(1-P)] * (1+Х)^[N*P];

Максимум Y достигается при Х=2P-1

Т.е. для нашего случая Х=0.2

Ну собственно, все правильно. (разве что опущено собственно вычисление Х). Для более общего случая, когда коэффициент при выгрыше/проигрыше не равен 1. Х = p/B - q/A Где p и q вероятности выигрыша и проигрыша, а А и В - коэффициенты при выгрыше и проигрыше. Это называется критерий Келли. Широко используется при инвестировании (risk management). Интересно, что если ставить в два раза меньше (стратегия полу-Келли), то ожидаемый результат будет всего лишь на 25% меньше чем при целом Келли. По этому многие рекомендуют использовать полу-Келли, т.к. она обеспечивает гораздо меньшую волатильность и в какой-то мере страхует от завышенной оценки вероятности выигрыша.

А как насчет второй задачи? Математически она намного проще, зато там есть о чем поговорить "за жизнь".

[Deynekin]

А как насчет второй задачи? Математически она намного проще, зато там есть о чем поговорить "за жизнь".

Вторая задача известна уже около двухсот лет под названием "Петербургский парадокс". Похоже, всё, что о ней можно сказать, уже давно сказано. Для неё цена игры (т.е. среднестатистический выигрыш) равна бесконечности: вероятности отдельных независимых исходов убывают в геометрической прогрессии, а их выигрыши в такой же прогресси возрастают, и конца им нет - ну, и...

Отсюда и "парадокс". Вот один из вариантов его разрешения: невозможно разыграть бесконечное число партий, т.е. цепочки длиннее определённой величины вообще отсекаются как нереализуемые (тут уж по вкусу: либо им всем приписываем нулевую вероятность, либо нулевой выигрыш). А поскольку бесконечность "прёт" имено из бесконечного хвоста, вот, вроде бы, парадокс уже и снят. Хотя цена (пропоциональная длине максимальной цепочки) всё равно получается "большой".

[dimp]

Вторая задача известна уже около двухсот лет под названием "Петербургский парадокс". Похоже, всё, что о ней можно сказать, уже давно сказано.

Ну конечно известна (думаю, что задачек опубликованных впервые в данном разделе очень немного), хотя, надеюсь, что не всем. А поговорить есть о чем (если есть интерес, конечно). Парадокс совсем не в том, что выигрыш бесконечен, а в том, что даже если сделать его конечным но очень большим, то в подобных играх реально люди согласны платить намного меньше, чем математическая цена игры, даже если они прекрасно знают статистику и понимают цену игры. Отсюда связь со страховыми компаниями.
Я не зря кроме собственно вопроса задачи добавил дополнительный "личный" вопрос. Интересно, как люди будут объяснять то, что они лично готовы поставить меньше денег.

[Deynekin]

в подобных играх реально люди согласны платить намного меньше, чем математическая цена игры, даже если они прекрасно знают статистику и понимают цену игры. Отсюда связь со страховыми компаниями... Интересно, как люди будут объяснять то, что они лично готовы поставить меньше денег.

Я бы для себя это объяснил так. То, что верно для страховой компании, неприложимо для меня. Компания работает с большим ансамблем и для неё статистика реализуется с большой точностью. Я же - единичная выборка, и для меня флуктуация от средней величины может быть сколь угодно большой. Поэтому от "их" цифр мне проку не много, потому мне в них интуитивно и не верится.

Более того, психологически в добровольной страховке есть элемент ...покупки себе несчастья. Ну вот, начни кто-то, начитавшись "статистики", покупать себе впрок костыли-инвалидные коляски-подкладные судна - так, думаю, он почти наверняка себе ноги и сломает: не пропадать же добру!

Так и со страховкой: вот кто-то застраховался, денюшки потратил, а "страховой случай" так и не наступил - ну разве не обидно?! Или: застраховался - случай наступил - получил страховку и теперь сидит весь остаток жизни парализованный в кресле - то-то радость и ему самому, и его близким! (Именно так - дословно!- страховочные рекламки и рисуют - сам такие видел.) И ведь добро бы какой-нито парализованный физик-теоретик Хоккинг был! - а то ведь и пока цел-здоров был, непонятно, зачем жил... Так что, в подавляющем числе случаев, для всех же лучше, если бы сразу "за ноги - да в канаву!" А то на деле одним только лоерам-жулью пожива выходит.
"Я так думаю..."

PS Кстати, при покупке лотерейного билета, люди обычно сильно переплачивают, "даже если они прекрасно знают статистику и понимают цену игры". Думаю, механизм тот же: тоже "покупаем случай", только за за желаемое согласны переплатить. И снова пренебрегаем статистикой, полностью надеясь на флуктуацию - ну не работает статистика на единичной выборке!

[vlad12345]

1) Если ставить по 1/50 от суммы, то вряд ли можно проиграть за время, сопоставимое со временем существования вселенной.

А не маловато будет? Вспоминается некое rule of a thumb, что ставить надо часть своего банка равную матожидание/среднеквадратичное_отклонение (наверное разновидность критерия Келли). На глазок ср_кв_откл где-то около 1, а матожидание 0.2, т.е. ставить надо бы 1/5

[vlad12345]

... Т.е. для нашего случая Х=0.2

Ага, т.е. все-таки 1/5, надо полагать 1/50 было просто ачипяткой

[bvp]

Вторая задача известна уже около двухсот лет под названием "Петербургский парадокс". Похоже, всё, что о ней можно сказать, уже давно сказано.

Ну конечно известна (думаю, что задачек опубликованных впервые в данном разделе очень немного), хотя, надеюсь, что не всем. А поговорить есть о чем (если есть интерес, конечно). Парадокс совсем не в том, что выигрыш бесконечен, а в том, что даже если сделать его конечным но очень большим, то в подобных играх реально люди согласны платить намного меньше, чем математическая цена игры, даже если они прекрасно знают статистику и понимают цену игры. Отсюда связь со страховыми компаниями.
Я не зря кроме собственно вопроса задачи добавил дополнительный "личный" вопрос. Интересно, как люди будут объяснять то, что они лично готовы поставить меньше денег.

Там проблема в том, что ценность денег не пропорциональна их количеству. Самое первое, что можно сказать об этом примере: ценность ста миллиардов долларов и триллиона долларов одинакова. И то, и другое делает выигравшего самым богатым человеком на планете, и эти деньги он заведомо никогда истратить не сможет. Следующие по порядку суммы тем более ничего не добаляют (в особенности, когда выходишь на сумму, которой вообще нет на Земле). Поэтому следующие после 100 миллиардов выигрыши фактически равноценны ста миллиардам. А если ограничить выигрыш ста миллиардами, то матожидание выигрыша оказывается уже отнюдь не бесконечным: 10^11 долларов это 10^13 центов или примерно 2^43 центов, т.е. нужно сыграть 43 партии, чтобы дойти до этой суммы. При одной партии матожидание выигрыша 0.5 цента, при двух - 1 цент, при 43 - 21.5 цент. Дальше каждая следующая партия прибавляет вдвое меньше и в итоге матожидание всей игры будет 22 цента. Это как бы максимальная цена, которую стоит заплатить если учитывать конечность ценности выигрыша.

Но эти подсчеты верны только если считать, что ценность денег пропорциональна их количеству при сумме меньше 100 миллиардов, что, конечно же, не так. На этот счет была целая теория в 1970-х годах (не знаю, развивалась ли она дальше). Но суть в том, что ценность нелинейна и для разных людей ведет себя по-разному (можно построить индивидуальный график по ответам человека на ряд специально поставленных вопросов).

Иными словами, человек не действует по принципу максимизации матожидания. Это очевидно, если представить такое: человеку платят один цент за участие в орлянке на все его имущество (т.е. если он к концу жизни накопил 500 тыс., включая дом и т.п., то предлагают сыграть на 500 тыс.: выиграет - получит еще 500 тыс., проиграет - отдаст все и пойдет по миру). Вряд ли кто на это согласится, хотя матожидание выигрыша - один цент. Просто ценность первых и вторых 500 тыс. совершенно разная.