Физика и теорема Геделя

[Dmitry67]

Вбрасываю идею

Навеяно

Когда я слышу "биоинформационные поля" я хватаюсь за пистолет.

Согласен, когда читаешь про эти поля в исполнении журналистов то хочется достать пистолет. Однако взглянем более глубоко

Возьмем первую Теорему Геделя
Она утверждает что в формальной арифметике существует высказывание истинное, и недоказуемое, а также ложное, и неопровергаемое
Способ построения такой теории позволяет получить такой же вывод и для любой другой теории которая обладает тремя признаками
1. Она непротиворечива
2. В ней выразима формальная арифметика, что практически автоматом достигается для любой мало мальски сложной теории. Для геометрии жто не так, она слишком проста и Теорема к ней неприменима
3. Аксиоматическая система ее такова, что ее аксиомы эффективно вычислимы, иначе говоря, рекурсивны (не путать с рекурсией в программировании)

Теперь рассмотрим известные физические теории и теорию будущего - теорию супесимметрии (предположим что жто будет полная теория и развитие фундаментальной физики приостановится)

Отвечает ли она этим требованием ?
2 очевидно да
1 не очень понятно как можно жить в мире, где законы противоречат друг другу.
3 наиболее спорный момент. Наверное найдется много желающих сказать что законы новой теории могут быть столь сложны что они нерекрсивны. Но увы - это означает что теория сама практически непознаваема, мы не можем например издать ее как труд и напечатать... То есть нерекурсивные системы аксиом для человека бесполезны

Далее я применяю теорему Геделя к физике, то есть к миру вообще

Существуют физические явления, никак не выводимые и не следующие из свойств физического мира. Такие явления, (равно как и отрицание их существования) являются совместимыми с законами физического мира

Могут заметить что такие явления известны и раньше и не являются необычными. Например, колебания NASDAQ никак не выводимы из структуры бумаги на которой напечатаны деньги. Однако это просто следствие того что в системе два языка - верхний и нижний, и утверждения верхнего языка на нижний просто не перевести, не выразить

Нет, Теорема Геделя вполне выразима на 'нижнем' языке (хотя она и вводит два языка при доказательстве). То есть вполне проверяемое (хотя и очень сложное) физическое утверждение о свойствах материи. которое из первичных свойств материи не следует

Соответственно, у физических законов есть 'люфт', который позволяет внематериальным сущностям вмешиваться в наш физический мир

[AverageMan]

Соответственно, у физических законов есть 'люфт', который позволяет внематериальным сущностям вмешиваться в наш физический мир

Содержание вашего топика в большей мере касается проблемы познания человеком, имхо. Можно ли утверждать, что человек способен продуктивно познавать все материальные явления природы, или только те которые поддаются описанию в рамках формальной человеческой логики. И обладает ли эта логика признаками (критериями) истинности? которые по своей сути являются скорее критериями полезности (и не более) для человека...

Для того что бы повествовать о тех или иных 'люфт'ах между материальным и внематериальным (с максимально объективной совершенной точки зрения) - нужно взять на себя смелость утверждать что человек и есть носитель максимально объективного и совершенного взгляда на мир вообще.

Говоря проще - сначала надо попытаться установить шлюз между человеком и природой (сколько человек знает и способен оценивать - 99%? или 0,0001%? от числа потенциально существующих явлений природы и их взаимосвязи) и с той же вероятностью потом уже делать те или иные утверждения...

[vc]

Вбрасываю идею

Навеяно

Возьмем первую Теорему Геделя
Она утверждает что в формальной арифметике существует высказывание истинное, и недоказуемое, а также ложное, и неопровергаемое

Well, no. The first incompletness theorem states that:

For every axiomatic system designed to capture arithmetic, there will be arithmetic statements which cannot be derived from its axioms, even if we keep adding additional axioms indefinetely.

...

теории которая обладает тремя признаками
1. Она непротиворечива

Consistency is not a self-evident attribute, it has to be proven, and as we know from the second incompleteness theorem, one cannot prove that Peano arithmetic is consistent even though its axioms are consistent.

Для геометрии жто не так, она слишком проста и Теорема к ней неприменима

If you mean Euclid's geometry, then yes the theorem is not applicable.

Далее я применяю теорему Геделя к физике, то есть к миру вообще

That's quite a leap. The first GT makes sense only within the formal system equivalent to PA. It's unclear how you are going to map the entire world to PA.


The rest of what you are saying may or may not be true, but both GTs apparently have got litle to do with that.

VC

[Dmitry67]

vc,

1. Первая Теорема Геделя доказывается в аксиоматике Пеано. Доказательство Геделя ЯВНО строит недоказуемое утвержление, которое на специальном геделевом языке говорит: "Я недоказуемо"
Утверждение про то что "каждая теория" не является на самом деле первой GT, а метарасширением этой теоремы. То есть доказав GT для Пеано, мы можем построить аналог GT для расширения Пеано.

2. Доказательство непротиворечивости Пеано получено, но оно доказываестя в теории множеств. Собственно, это и требует 2 GT: если в теории доказано ее непротиворечивость, то она противоречива. Поэтому непротиворечивость теории можно доказать только в более мощной теории
Поэтому непротиворечивость теории множест (большинства аксиоматик) не доказана до сих пор насколько я знаю

3. Применимость к физическому миру... Сложный вопрос

[vc]

Dmitry67,

1. Первая Теорема Геделя доказывается в аксиоматике Пеано. Доказательство Геделя ЯВНО строит недоказуемое утвержление, которое на специальном геделевом языке говорит: "Я недоказуемо"

Very roughly, yes. However, your revised statements is not the same as: "истинное, и недоказуемое, а также ложное, и неопровергаемое".

Утверждение про то что "каждая теория" не является на самом деле первой GT, а метарасширением этой теоремы. То есть доказав GT для Пеано, мы можем построить аналог GT для расширения Пеано.

Sorry, I do not undestand the above.

2. Доказательство непротиворечивости Пеано получено, но оно доказываестя в теории множеств.

If you mean Gentzen's proof, then you ought to know that the proof relies on transfinite induction. So, in his proof, he relied on the axiomatics whose consistency is as open to question as PA itself. In other words, if [you believe] the ZF axioms are consistent, then PA is also consistent.

Поэтому непротиворечивость теории можно доказать только в более мощной теории.

Well, that's the problem aint' it. The Zermelo-Fraenkel (ZFC) axioms are widely *believed* to be consistent, though.

Regards.

VC

[Bobo]

Не ранее, чем 2 года назад, Хокинг прочел в MIT короткую лекцию, которая была озаглавлена почти как эта тема. Он, правда, был осторожнее, чем Дмитрий, и всего лишь проводил аналогии, а не говорил о применимости теорем Геделя к физике. Да и выводы делал слегка другие...

С другой стороны - со стороны математики - интересно подумать о философских последствиях результатов Чайтина. Сам Чайтин в своих рассуждениях о познании очень туманен (для меня), он твердит о каких-то "statements that are true for no reason", и слова Дмитрия о "внематериальных сущностях" вызвали у меня с этим ассоциацию.
Хотя математические построения Чайтина мне большей частью понятны, и вклад его в основания математики бесспорен.

Ссылки по теме

http://www.damtp.cam.ac.uk/strtst/dirac/hawking/ - Stephen Hawking "Gödel and the end of physics"

http://www.cs.auckland.ac.nz/CDMTCS/chaitin/inv.html - An Invitation to Algorithmic Information Theory - простая лекция, содержащая основные идеи Чайтина, разбавлена легкими (но уже туманными) философскими отступлениями.

http://www.helsinki.fi/collegium/eng/Ra ... nthese.pdf - PANU RAATIKAINEN "ALGORITHMIC INFORMATION THEORY AND UNDECIDABILITY" - Чайтин получает порцию критики за свои философствования.

http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/200 ... 04862.html - Ратикайнен оправдывается

http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/200 ... 04864.html - Симпсон озвучивает мою точку зрения
"Chaitin's results are not without interest, but claims about their philosophical/foundational significance are greatly exaggerated."

Простите, если это все покажется сильно специальным (или оффтопиком), но понять Чайтина так же легко, как и Геделя - читать Колмогорова и Мартин-Лёфа для этого необязательно...

[vc]

http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2001-March/004862.html - Ратикайнен оправдывается

I would not say that Raatikainen was particularly embarrassed::

<quote/FOM list>

Charlie Silver wrote:
> It seemed to me, despite your assertion at the end of the article
> about the theorem still being of value (or something like that),
> the points you make in the article were devastating. If we take
> away the standard interpretation of the [Chaitin] theorem, what do you
> think of value is left?
[Raatikainen]
I am happy to hear that you think that my points were devasting -
that was my intention.
</quote>


VC

[Bobo]

I would not say that Raatikainen was particularly embarrassed:: ...
...

Of course he wasn't. And formally he was absolutely correct. And so was Chaitin. R's critique of Chaintin was caused only by all that philosophical buzz about "deep consequences" of Ch's results. But imho, R has gone a little too far trying to present Ch's results as trivial and previously known. In turn, The Omega Man has gone too far talking philosophy and "deep consequences", but this is just because he is too much in love with his work.
Anyway, philosophical consequnces of FOM is something worth thinking and speculating about. It's just entertaining. Also, imho, Chaitin's results is a more fertile ground for entertaining speculations than Goedel's.
And if Hawking and Chaintin are allowed to speculate, I think Dmitry67 must be allowed too. But every one of them must be careful and prepared to face criticism.

[Dmitry67]

1
Very roughly, yes. However, your revised statements is not the same as: "истинное, и недоказуемое, а также ложное, и неопровергаемое".

2

Утверждение про то что "каждая теория" не является на самом деле первой GT, а метарасширением этой теоремы. То есть доказав GT для Пеано, мы можем построить аналог GT для расширения Пеано.

Sorry, I do not undestand the above.

3
If you mean Gentzen's proof, then you ought to know that the proof relies on transfinite induction. So, in his proof, he relied on the axiomatics whose consistency is as open to question as PA itself. In other words, if [you believe] the ZF axioms are consistent, then PA is also consistent.

Well, that's the problem aint' it. The Zermelo-Fraenkel (ZFC) axioms are widely *believed* to be consistent, though.

1 Agreed, я немного углубил и расширил

2 ok, первая теорема Геделя доказывается относительно аксиоматики Пеано.
Я думаю Вы согласитесь что теорема Геделя не является теоремой, потому что в арифметике пеано теоремой является утверждение о *числах*
Она является метатеоремой, то есть утверждением о свойствах арифметики Пеано
Далее *очевидно* мы можем применить тот же самый метод (Геделя) к другим теорим, например, Пеано+недоказуемое утвержение, или ZF. То, что это у нас получится для любой теории, которая уволетворяет некоторым критериям, является, чтоли, мета-мета-теоремой.

3
Полностью согласен, меня этот факт в свое время очень поразил
Мы не можем доказать непротиворечивать теории Пеано, иначе как через более мощную теорию. Однако непротиворечивость всего доказательства мы можем либо принять на веру, либо должны доказать непротиворечивость этой более мощной теории в еще более мощной. Что только отодвинет проблему

С другой стороны, непротиворечивость слишком простых теории (булева логика) на которые не распространяется GT, доказывается с помощью рассуждений, которые включает в себя как минимум исчисление предикатов и числа.

Таким образом в математике непротиворечивасть НИ ОДНОЙ теории не может быть строго доказана... Все здание стоит на песке

За статью спасибо
Вечером прочитаю

[AverageMan]

That's quite a leap. The first GT makes sense only within the formal system equivalent to PA. It's unclear how you are going to map the entire world to PA.

3. Применимость к физическому миру... Сложный вопрос

Вот цитата из Хофштадтера (далеко не самый последний человек в теории формальных систем, а в определенном смысле - наверняка один из первых).

"Может быть, и вся наша действительность является некой формальной системой? В очень широком смысле, ответ мог бы, кажется, быть положительным. Можно предположить, например, что наша реальность - это обособленная, очень сложная формальная система. Ее символы не ложатся на бумагу, а скорее помещены в трехмерном пространстве. Это - элементарные частицы, из которых все в этом мире и состоит (Мы предполагаем, что в бесконечной цепи вопросов "из чего состоит. . . из чего состоит. . . из чего состоит. . .", имеется такой ответ, что термин "элементарная частица" имеет смысл). А "типографские правила" - это законы физики, которые сообщают как они изменятся, учитывая положение и скорость всех частиц. Каковы будут новое положение и скорости всех частиц-символов в "следующий" момент времен. Получается, что теоремы этой циклопической формальной системы - это возможные конфигурации всех частиц Вселенной в разные моменты времени на протяжении всей ее истории. Единственная аксиома (которая возможно была) - первоначальная конфигурация всех частиц в "начальный момент времени". Это грандиозная концепция, однако, она настолько велика, что имеет только теоретический интерес. Кроме того, квантовая механика (и другие разделы физики), бросают на нее, по крайней мере, несколько сомнений. Возникают сомнение даже в чисто теоретической возможность всего этого. По существу мы спрашиваем: является вся Вселенная в целом детерминированной системой? И этот вопрос остается открытым."

От себя, скромно добавлю - даже если говорить о мире физики (в широком смысле) как о формальной системе - безнадежно ошибочно (имхо) делать выводы и тем более разносить на разные уровни физический и надфизические миры (условно - "биоинформационные поля", "внематериальные сущности с люфтами в метериальный мир и пр") даже не в силу того, что сама констатация "физический мир - формальная система" лишь предположительна - а что, сама семантика, теоремы и аксиомы в ней (в трактовке человеком) весьма условны и уж как минимум неполны. (но это я повторяюсь уже)

[Bobo]

Вот цитата из Хофштадтера...

О! Наконец-то Хофштадтера на русский перевели!

[AverageMan]

О! Наконец-то Хофштадтера на русский перевели!

Собственно его переводы в том или ином количестве делась давно. В основном в журналах.

[Dmitry67]

That's quite a leap. The first GT makes sense only within the formal system equivalent to PA. It's unclear how you are going to map the entire world to PA.

Только сейчас ошибку заметил
1 GT (точнее ее аналог) имеет sense также в ЛЮБОЙ другой аксиоматической системе, если эта система ВКЛЮЧАЕТ в себя (а не ЭКВИВАЛЕНТНА) PA.
При этом система должна быть непротиворечивой и ее система аксиом должна быть рекурсивной.

С этим более сложно
В непротиворечивость физичесеского мира хотелось бы верить.
Система аксиом. то есть набор физических законов. пока нерекрсивен так как неизвестен. то есть исчислить эти аксиомы пока никто не может. Если будет The Theroy of Everything, то очевидно система будет рекурсивной. Познание вглубь остановится, но это не означает ограниченности сложности мира, так как сложные системы могут обладать странными и невыводимыми свойствами
Иначе, если прав Хокинг, то система аксиом нерекурсивна и тогда физика тоже неполна
Но занчит, физика В ЛЮБОМ СЛУЧАЕ непона !!!

(убегает, крича "Нобелевку ! Нобелевку мне !")

[Dmitry67]

AverageMan
Я согласен что разделение уровней на физический и внефизический условно

[Bobo]

А кто-нибудь видел модель PA во Вселенной? Если видели, то что мешает построить геделевское утверждение о Вселенной прямо сейчас?
Или давайте искать "ближайшую к нам звезду, кратчайшее описание которой состоит из двенадцати слов", и проверять, соответствуют ли ее реальные свойства тем, которые можно вывести из етого описания.

[vc]

.....

2 ok, первая теорема Геделя доказывается относительно аксиоматики Пеано.
Я думаю Вы согласитесь что теорема Геделя не является теоремой, потому что в арифметике пеано теоремой является утверждение о *числах*

Well, I am sorry but I'll disagree. There is nothing "meta" about the GT with respect to how it's proved [by Goedel]. The proof shows how to construct an undecidable statement, encoded as an integer, and the proof is an ordinary mathematical proof, no different say from proving the Pythagorean Theorem..

...
Она является метатеоремой, то есть утверждением о свойствах арифметики Пеано

I am not sure what you mean by "meta" but the GT is as much about the PA's properties as the PT is about the right triangle properties. Should we call, then, the PT also a "metatheorem" ? Maybe you are using "meta" in some philosophical sense ?


VC

[vc]

That's quite a leap. The first GT makes sense only within the formal system equivalent to PA. It's unclear how you are going to map the entire world to PA.

Только сейчас ошибку заметил
1 GT (точнее ее аналог) имеет sense также в ЛЮБОЙ другой аксиоматической системе, если эта система ВКЛЮЧАЕТ в себя (а не ЭКВИВАЛЕНТНА) PA.

Sure, I was sloppy in my wording, of course any consistent extension of PA is incomplete. One can construct, though, for example, a formal system of reals, without arithmetic, which will be consistent and complete.

VC

[Bobo]

... One can construct, though, for example, a formal system of reals, without arithmetic, which will be consistent and complete.

Кстати, я совсем недавно узнал, что если из ПА выбросить умножение, то получится полная, непротиворечивая теория с вычислимым предикатом истинности. (Presburger's Arithmetic). Доказательство этого весьма нетривиально, но оно в свое время послужило причиной веры Гильберта в возможность построения Оснований.
Я-то раньше думал, что вся беда только в индукции...

[Dmitry67]

... One can construct, though, for example, a formal system of reals, without arithmetic, which will be consistent and complete.

Кстати, я совсем недавно узнал, что если из ПА выбросить умножение, то получится полная, непротиворечивая теория с вычислимым предикатом истинности. (Presburger's Arithmetic). Доказательство этого весьма нетривиально, но оно в свое время послужило причиной веры Гильберта в возможность построения Оснований.
Я-то раньше думал, что вся беда только в индукции...

А разве умножение в Пеано не определяется через сложение ?

[Dmitry67]

Well, I am sorry but I'll disagree. There is nothing "meta" about the GT with respect to how it's proved [by Goedel]. The proof shows how to construct an undecidable statement, encoded as an integer, and the proof is an ordinary mathematical proof, no different say from proving the Pythagorean Theorem..

Maybe you are using "meta" in some philosophical sense ?
VC

Понятие meta для меня означает выразимость теоремы и доказуемость теоремы не выходя за рамки некоторой теории

например, основная теорема алгебры является алгебраической теоремой, однако ее доказадательство неалгебраическое.

Возвращаясь к формальной арифметике, то теоремой формальной арифметики является утверждение о числах и ничего больше

Любое высказывание типа 'утверждение типа ... является недоказыемым' утверждением о числах не являются а являются утверждениеми о свойствах формальной арифметики и я их отношу к метатеоремам

Теоремы Геделя с этой точки зрения очень интересна. Она в каком то смысле одновременно является и мета теоремой и просто теоремой. Она наводит мост между формальным уровнем (утверждением о числах) и мета уровнем (свойствам высказываний, кодированных числами) создавая отображение двух языков друг на друга.

Тем не менее, не выходя за пределы формальной арифметики доказать Теорему Геделя невозмодно, потому что даже самый первый шаг - Геделизация - невыразим в формальной арифметике.

Более того, можно представить себе упрямого ученого, который по каким то причинам НЕ ВЕРИТ в рассуждения мета уровня. Например, если этот ученый - интуиционист.Он будет согласен с формальным слоем и всеми теоремами. Однако на мета уровне в доказательстве используется принцип от противного, и, для него доказательства не состоится

Agreed ?

P.S. Sorry, на выходных буду в Каннах, отвечу в понедельник

[Bobo]

А разве умножение в Пеано не определяется через сложение ?

Нет. Более того, сложение не определяется через основные пеановские понятия (equality, successor, induction). Более того, через ети понятия не определяется даже отношение меньше. Минимальная фундаментальная по Геделю арифметика имеет знаки "<, +, *" в языке и соответствуюшие аксиомы.
Речь идет о языке первого порядка.

теоремой формальной арифметики является утверждение о числах и ничего больше

С таким же успехом можно сказать, что теоремы формальной арифметики напротив, никакого отношения к числам не имеют - они просто строки символов, выведенные по формальным правилам.
И теоремa Геделя в етом смысле есть именно теорема о формальных строках, помните строгую формулировку, не испорченную популяризаторами?
типа "Сушествует строка Г, такая что если Т выводит Г, то Т противоречива, а если Т выводит ~Г, то Т омега-противоречива". Ето я на мета языке сказал, конечно, но прикол в том, что ето можно и высказать и доказать (тьфу, вывести) на языке T.
Интуиционисты могут быть возмушены как раз тем, что семантика подменяется формализмом. Но следуюший прикол в том, что ту же семантику можно доказать и семантическими средствами ("полусемантическое" следствие теоремы Тарского о неопределимости истины, а также не помню чье чисто семантическое модельное доказательство).

[vc]

А разве умножение в Пеано не определяется через сложение ?

Нет. Более того, сложение не определяется через основные пеановские понятия (equality, successor, induction). Более того, через ети понятия не определяется даже отношение меньше. Минимальная фундаментальная по Геделю арифметика имеет знаки "<, +, *" в языке и соответствуюшие аксиомы.
Речь идет о языке первого порядка.

This is not quite true. In the first-order formulation, there is no need for LESS("<") because it can be expressed via "+":

E.g.: (a < b ) : Ex(a+x+S(0))=b


VC

[Bobo]

А разве умножение в Пеано не определяется через сложение ?

Нет. Более того, сложение не определяется через основные пеановские понятия (equality, successor, induction). Более того, через ети понятия не определяется даже отношение меньше. Минимальная фундаментальная по Геделю арифметика имеет знаки "<, +, *" в языке и соответствуюшие аксиомы.
Речь идет о языке первого порядка.

This is not quite true. In the first-order formulation, there is no need for LESS("<") because it can be expressed via "+":

E.g.: (a < b ) : Ex(a+x+S(0))=b


VC

Correct, "less" is expressible through "+". Sorry.

[Dmitry67]

Нехороший Вы человек. У меня поезд TGV в 7 утра, а я вынужден Вам ответ писать

1
Более того, сложение не определяется через основные пеановские понятия (equality, successor, induction).

2
С таким же успехом можно сказать, что теоремы формальной арифметики напротив, никакого отношения к числам не имеют - они просто строки символов, выведенные по формальным правилам.

3
И теоремa Геделя в етом смысле есть именно теорема о формальных строках, помните строгую формулировку, не испорченную популяризаторами?
типа "Сушествует строка Г, такая что если Т выводит Г, то Т противоречива, а если Т выводит ~Г, то Т омега-противоречива".

4
Ето я на мета языке сказал, конечно, но прикол в том, что ето можно и высказать и доказать (тьфу, вывести) на языке T.

5
"полусемантическое" следствие теоремы Тарского о неопределимости истины, а также не помню чье чисто семантическое модельное доказательство).

1 см http://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms#The_axioms
Addition, multiplication and the usual ordering can all be defined for the natural numbers N entirely in terms of the Peano axioms.

2,3 В общем да
Но в арифметике путеводной нитью является омега непротиворечивость
То есть к аксиоматике Пеано P мы можем добавить как недоказуемое геделевское утверждение G так и его отрицание
Обе расширенные теории (P+G) и (P+ not G) будут некпротиворечивы
Но лишь одна из низ омега непротиворечива
То есть на самом деле любое утверждение о числах либо истинно либо ложно

К сожалению ничего такого в теории множеств нет. Разные аксиоматики, Axiom of Choice, Обобщенная гипотеза континума и гипотеза о недостижимых можностях... Количество теорий составляет десятки. Поэтому теории множеств больше напоминают игру со строками чем исследование свойств реальных объектов

4. Нет
На языке арифметики Вы можете выроазить только утверждение о числах и ничего больше
То что это утверждение о числах имеет второй смысл выходит за рамки теории

5 Расскажите пожалуйста, я как то прошел мимо жтого в своем самопальном образовании по этому предмету

[vc]

Нехороший Вы человек. У меня поезд TGV в 7 утра, а я вынужден Вам ответ писать :)

1 см http://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms#The_axioms
Addition, multiplication and the usual ordering can all be defined for the natural numbers N entirely in terms of the Peano axioms.

You'll take another train ;)

1. Their definition is a second-order formulation where the addition/multiplication axioms are theorems.

VC