Cougar wrote:Вторая Теорема Геделя:
Во всякой достаточно богатой
(1) непротиворечивой теории первого порядка выссказывание F, утверждающая непротиворечивость этой теории, не является выводимой в ней.
Теорема 1:
Существует теория первого порядка в рамках которой доказывается вторая теорема Геделя.
(2)Следствие 1: Невозможно доказать полноту второй теоремы Геделя
(3) о неполноте
в рамках логики конечного множества предикатов.
(4)Следствие 2: В теорему Геделя можно только верить так же как и в Бога. Аминь.
(5)А проще говоря, прямым следствием теоремы Геделя является неполнота любой теоремы. Теорема Геделя тоже теорема и поэтому утверждает неполноту самой себя. Тут можно хитрить и исключить теорему Геделя из множества всех теорем, но это философия, а раздела «Философия» у нас нет
.
Дмитрий, прокомментируйте плиз.
1. Более точно, теории в которой выводима формальная арифметика. Кроме того, набор аксиом и правил вывода должен быть алгоритмически разрешим (впросчем все человеческие теории именно такие)
2. Более точно, Теорема Геделя доказана для аксиоматики Пеано. Далее есть рассуждения, что такой же метод, очевидно, подходит для любой (1) теории. То есть есть генерализация Теоремы Геделя (как первой так и второй)
3. Мне известно что такое полтона теории, но я не знаю, что такое полнота теоремы
4. Безусловно, теорема Геделя не является утверждением формальной арифметики (хотя и отображается в нее, но доказана только в ней быть не может). Она является так называемой
мета теоремой (а ее генерализацию можно назвать мета мета теоремой)
Кстати, будучи отображена в формальную арифметику, любая из теорем Геделя превращаетя в просто длинное и неинтересное высказывание о целых числах 'не существует такого N что <очень длинная формула>'
5. Да
Отступая к первой Теореме, то недоказуемое высказывание, или его отрицание, может быть принято как аксиома. Однако, будет правильно принять только истинное (но недоказуемое) высказывание как аксиому. Иначе Вы получите w-противоречивую (но непротиворечивую) теорию.
Истинность тут является путеводной нитью... Хотя это тоже мета понятие. То есть вы верите, что высказывание истинно
Но это еще цветочки. В теории множеств даже такой путевой нити нет. Есть множество аксиоматик, использование или нет самоочевидной, но страшной по сути аксиомы выбора, парадоксы, и недоказуемые высказывания которые сыпятся как из ведра (обобщенная гипотеза континуума, или существование недостижимых несчетных мощностей)
Хм... Существование недостижимой мощности... невыводимое высказывание... которую можно либо принять как аксиому, либо отвергнуть... как походе на Бога, о том, о чем мы спорим
