2 шара катящиеся вниз...
-
- Уже с Приветом
- Posts: 12258
- Joined: 20 Dec 2000 10:01
- Location: Bellevue, WA
2 шара катящиеся вниз...
Я взял эту задачку с другого форума т.к. показалась интересной.
My prof put a problem on the board with two tracks and two balls; the tracks are the exact same except that the 2nd track has a dip in it. The balls both start uphill, roll down, then level off, then the dip is in the middle of the level portion of the 2nd track.
He says the ball on the track with the dip will finish the track first because it accelerates in the dip and has increased velocity. This reasoning confuses me because he didn't mention anything about the increased distance. He further went to explain that it's like having two cars driving on a road, then having one car briefly accelerate and then reducing back to speed, winning a race. But that involved extra energy into the system, right?
I'm not sure if my reasoning is right, but I figured they both finish at the same time because they both have the same starting potential energy. Also, I tried thinking about his reasoning and figured the more dips you put in a road, the faster you'll get somewhere. This also doesn't seem to make sense. The entire class got this question wrong; what's the trick to it? His explanation didn't work for me.
В общем, нужно показать что второй шар докатится первым.
Сначала я пытался проинтегрировать но это оказалось не просто сделать руками тем более что функция описывающая впадину неизвестна. Лень было устанавливать пакеты типа Мапла и т.д.
Второй способ это использовать принципы физики но тут я уже завис основательно. Обосновать на пальцах трудно.
Может кому будет интересно или кто-то уже знает готовый ответ?
My prof put a problem on the board with two tracks and two balls; the tracks are the exact same except that the 2nd track has a dip in it. The balls both start uphill, roll down, then level off, then the dip is in the middle of the level portion of the 2nd track.
He says the ball on the track with the dip will finish the track first because it accelerates in the dip and has increased velocity. This reasoning confuses me because he didn't mention anything about the increased distance. He further went to explain that it's like having two cars driving on a road, then having one car briefly accelerate and then reducing back to speed, winning a race. But that involved extra energy into the system, right?
I'm not sure if my reasoning is right, but I figured they both finish at the same time because they both have the same starting potential energy. Also, I tried thinking about his reasoning and figured the more dips you put in a road, the faster you'll get somewhere. This also doesn't seem to make sense. The entire class got this question wrong; what's the trick to it? His explanation didn't work for me.
В общем, нужно показать что второй шар докатится первым.
Сначала я пытался проинтегрировать но это оказалось не просто сделать руками тем более что функция описывающая впадину неизвестна. Лень было устанавливать пакеты типа Мапла и т.д.
Второй способ это использовать принципы физики но тут я уже завис основательно. Обосновать на пальцах трудно.
Может кому будет интересно или кто-то уже знает готовый ответ?
You do not have the required permissions to view the files attached to this post.
-
- Уже с Приветом
- Posts: 63377
- Joined: 03 Nov 2004 05:31
- Location: RU -> Toronto, ON
-
- Уже с Приветом
- Posts: 11756
- Joined: 10 Feb 2005 16:08
- Location: CMH
-
- Уже с Приветом
- Posts: 1849
- Joined: 06 Mar 2006 20:06
Dweller wrote:Сначала я пытался проинтегрировать но это оказалось не просто сделать руками тем более что функция описывающая впадину неизвестна.
Может, как раз имелось в виду, что надо найти функцию, при которой второй шар докатится первым? Как в задаче о брахистохроне..
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1% ... 0%BD%D0%B0
http://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone
Last edited by Ворона on 03 Oct 2007 18:22, edited 2 times in total.
-
- Уже с Приветом
- Posts: 63377
- Joined: 03 Nov 2004 05:31
- Location: RU -> Toronto, ON
-
- Уже с Приветом
- Posts: 12258
- Joined: 20 Dec 2000 10:01
- Location: Bellevue, WA
Flash-04 wrote:можно на пальцах. рисуем графики скорости от времени для обоих шаров после выхода на горизонтальный участок. У первого будет прямая линия, у второго - "горб" на этой линии из-за впадины.расстояние - это площадь под кривой. Из-за "горба" второй шар наберёт требуемую площадь быстрее, ч.т.д.
Мне кажется такое объяснение не подходит.
Каким образом площать будет влиять на время прохождения участка шаром?
-
- Уже с Приветом
- Posts: 63377
- Joined: 03 Nov 2004 05:31
- Location: RU -> Toronto, ON
Dweller wrote:Мне кажется такое объяснение не подходит.
Каким образом площать будет влиять на время прохождения участка шаром?
подумайте другое дело что в моём обьяснении я рассуждаю о пути пройденным шаром по кривой.
если рассматривать проекцию скорости, то подумайте о половине расстояния от начала ямы до ее середины. шар на этом участке ускоряется и пройдет этот участок быстрее, чем если бы катился по прямой. время для второй половины будет таким же (реверс характера движения - замедление, но зеркальный по времени), что в итоге нам даёт более быстрое прохождение участка ямы вторым шаром.
_vm, для сильно глубокой ямы может получится что характер движения качественно изменится (удары, подскоки), так что мы не будем рассматривать такой случай
-
- Уже с Приветом
- Posts: 605
- Joined: 14 Feb 2002 10:01
- Location: Russia
-
- Уже с Приветом
- Posts: 63377
- Joined: 03 Nov 2004 05:31
- Location: RU -> Toronto, ON
-
- Уже с Приветом
- Posts: 56371
- Joined: 22 Nov 2002 02:05
- Location: С-Пб, NH
-
- Уже с Приветом
- Posts: 4459
- Joined: 18 Dec 2004 20:44
- Location: UA->WA->TX
Может оказаться, что профессор не прав, или задача донесена неверно до слушателя. Численное интегрирование показывает, что при лунке-полукруге, и условии что шарик от нее не отрывается (и точечном шарике), все зависит от радиуса лунки: при малом (по сравнению с V0^2/g) радиусе время тратится больше в лунке, при большом - меньше. Но этот случай - патологический, так как глубина и ширина лунки определяются одним и тем же масштабом.
Скорее всего, проф использовал неправильное рассуждение Flash'a.
Скорее всего, проф использовал неправильное рассуждение Flash'a.
Возьми меня, Море, и грохни об скалы, так надоело брать интегралы...(с)
-
- Уже с Приветом
- Posts: 4459
- Joined: 18 Dec 2004 20:44
- Location: UA->WA->TX
Polar Cossack wrote:Строители дорог - дураки дурацкие. Одним взмахом закон сохранения энергии - в топку. Построил дорогу из ям - машины сами собой покатятся, только толкни.
Это ты, конечно, не подумав написал про закон сохранения энергии.
Возьми меня, Море, и грохни об скалы, так надоело брать интегралы...(с)
-
- Уже с Приветом
- Posts: 63377
- Joined: 03 Nov 2004 05:31
- Location: RU -> Toronto, ON
-
- Уже с Приветом
- Posts: 4459
- Joined: 18 Dec 2004 20:44
- Location: UA->WA->TX
Flash-04 wrote:Dimchik wrote:Скорее всего, проф использовал неправильное рассуждение Flash'a.
в каком месте я делаю ошибку? при условии не-отрыва шарика от поверхности, отсутсвия трения и пренебрежением размером шаров?
В том что кроме горба на дне ямы у второго шарика будет мизерная горизонтальная скорость на краях ямы, и не ясно, что победит.
Возьми меня, Море, и грохни об скалы, так надоело брать интегралы...(с)
-
- Уже с Приветом
- Posts: 56371
- Joined: 22 Nov 2002 02:05
- Location: С-Пб, NH
Почему это? Скатившись и поднявшись, шар увеличит скорость? Значит, его кинетика возросла? От сырости в желобке?Dimchik wrote:Это ты, конечно, не подумав написал про закон сохранения энергии.Polar Cossack wrote:Строители дорог - дураки дурацкие. Одним взмахом закон сохранения энергии - в топку. Построил дорогу из ям - машины сами собой покатятся, только толкни.
"Я хотел бы устроиться в вашу мусарню… Я хочу ходить с волыной и шмалять в людей." "Триод и Диод"
-
- Уже с Приветом
- Posts: 63377
- Joined: 03 Nov 2004 05:31
- Location: RU -> Toronto, ON
Dimchik wrote:Flash-04 wrote:Dimchik wrote:Скорее всего, проф использовал неправильное рассуждение Flash'a.
в каком месте я делаю ошибку? при условии не-отрыва шарика от поверхности, отсутсвия трения и пренебрежением размером шаров?
В том что кроме горба на дне ямы у второго шарика будет мизерная горизонтальная скорость на краях ямы, и не ясно, что победит.
стоп, как считаем, что вектор скорости по касательной к поверхности, т.е. поворачивается в момент входа в яму? тогда ответ будет другой.
-
- Уже с Приветом
- Posts: 4459
- Joined: 18 Dec 2004 20:44
- Location: UA->WA->TX
Flash-04 wrote:Dimchik wrote:Flash-04 wrote:Dimchik wrote:Скорее всего, проф использовал неправильное рассуждение Flash'a.
в каком месте я делаю ошибку? при условии не-отрыва шарика от поверхности, отсутсвия трения и пренебрежением размером шаров?
В том что кроме горба на дне ямы у второго шарика будет мизерная горизонтальная скорость на краях ямы, и не ясно, что победит.
стоп, как считаем, что вектор скорости по касательной к поверхности, т.е. поворачивается в момент входа в яму? тогда ответ будет другой.
Я думал, что "не отрывается от поверхности" именно это и означает.
Возьми меня, Море, и грохни об скалы, так надоело брать интегралы...(с)
-
- Уже с Приветом
- Posts: 63377
- Joined: 03 Nov 2004 05:31
- Location: RU -> Toronto, ON
-
- Уже с Приветом
- Posts: 27652
- Joined: 15 Jul 2002 17:05
- Location: MD
-
- Уже с Приветом
- Posts: 946
- Joined: 04 Sep 2007 18:21
- Location: Moscow > DC Area > Boston > далее со всеми остановками
А что, Конгресс уже отменил закон сохранения энергии?
Слегка изменяем задачу. Ямки нет, есть широкое отверстие и жесткая площадка на какой-то глубине. Шарик проваливается в отверстие, отскакивает от площадки и возвращается на рельсы. Удар абсолютно упругий, масса подставки бесконечна - т.е. шарик возвращается на ту же высоту.
Какой шарик придет первым? Правильно - оба одновременно. Вектор горизонтальной скорости не изменился.
А теперь рисуем ямку, точно повторяющую траекторию шарика. Что-либо изменится? Отнюдь...
Резюме - при отсутствии потерь (сила трения, сопротивление воздуха и т.п.) оба шарика придут одновременно. При их наличии - тот, что падал в ямку, придет позже. Но ни при каких условиях он не придет первым.
Слегка изменяем задачу. Ямки нет, есть широкое отверстие и жесткая площадка на какой-то глубине. Шарик проваливается в отверстие, отскакивает от площадки и возвращается на рельсы. Удар абсолютно упругий, масса подставки бесконечна - т.е. шарик возвращается на ту же высоту.
Какой шарик придет первым? Правильно - оба одновременно. Вектор горизонтальной скорости не изменился.
А теперь рисуем ямку, точно повторяющую траекторию шарика. Что-либо изменится? Отнюдь...
Резюме - при отсутствии потерь (сила трения, сопротивление воздуха и т.п.) оба шарика придут одновременно. При их наличии - тот, что падал в ямку, придет позже. Но ни при каких условиях он не придет первым.
TANSTAAFL
-
- Уже с Приветом
- Posts: 27652
- Joined: 15 Jul 2002 17:05
- Location: MD
-
- Уже с Приветом
- Posts: 2001
- Joined: 10 Nov 2004 00:34
- Location: MD
Силой трения, как я понимаю, пренебрегаем.
Шарик от поверхности не отрывается.
Вопрос в том, как обеспечивается это условие.
Если нет никаких дополнительных прижимающих рельсов, т.е. просто форма ямки такова, что шарик не оторвётся, то можно показать, что с ямкой он доедет не медленнее. Может и за такое же время, но для этого форма ямки должна быть специфической - парабола вниз и вверх, с отражением на дне.
Рассуждение такое.
На шарик всегда действует сила тяжести вниз и сила сопротивления опоры - перпендикулярно поверхности.
Сумма этих сил и определяет движение шарика.
Теперь рассмотрим только горизонтальную составляющую этой суммы. Сила тяжести в ней отсутствует, а вот сила от опоры - есть. Причём она разгоняет шарик горизонтально при опускании в ямку и тормозит после. Т.е. в ямке горизонтальная скорость шарика больше, и, соответственно, шарик доедет быстрее.
Горизонтального разгона не будет только если сила опоры равна нулю, т.е. шарик свободно падает по параболе вдоль соответствующей поверхности.
Есть ещё одна тонкость - инерция вращения шарика.
Её действие противоположно по знаку - про разгоне (и раскручивании) шарика трение будет иметь горизонтальную составляющую, направленную назад. Надо подумать, может ли она скомпенсировать разгон...
Шарик от поверхности не отрывается.
Вопрос в том, как обеспечивается это условие.
Если нет никаких дополнительных прижимающих рельсов, т.е. просто форма ямки такова, что шарик не оторвётся, то можно показать, что с ямкой он доедет не медленнее. Может и за такое же время, но для этого форма ямки должна быть специфической - парабола вниз и вверх, с отражением на дне.
Рассуждение такое.
На шарик всегда действует сила тяжести вниз и сила сопротивления опоры - перпендикулярно поверхности.
Сумма этих сил и определяет движение шарика.
Теперь рассмотрим только горизонтальную составляющую этой суммы. Сила тяжести в ней отсутствует, а вот сила от опоры - есть. Причём она разгоняет шарик горизонтально при опускании в ямку и тормозит после. Т.е. в ямке горизонтальная скорость шарика больше, и, соответственно, шарик доедет быстрее.
Горизонтального разгона не будет только если сила опоры равна нулю, т.е. шарик свободно падает по параболе вдоль соответствующей поверхности.
Есть ещё одна тонкость - инерция вращения шарика.
Её действие противоположно по знаку - про разгоне (и раскручивании) шарика трение будет иметь горизонтальную составляющую, направленную назад. Надо подумать, может ли она скомпенсировать разгон...
-
- Уже с Приветом
- Posts: 946
- Joined: 04 Sep 2007 18:21
- Location: Moscow > DC Area > Boston > далее со всеми остановками
Так, поторопился. Уже вижу косяк. "Отставить верблюда"(с)
Энергия обоих шариков в конце траектории будет одинакова (в идеальном случае), но это не имеет ни малейшего отношения ко времени прохождения дистанции.
Предельный случай - ямка занимает всю длину траектории. То есть первый шарик опускается до высоты H1, а второй - до H2 (нет, H2 мало, пусть будет H3 ), а в конце траектории возвращается на H1. Скорость второго шарика выше. Длина траектории бесконечна. И вся любофф.
Энергия обоих шариков в конце траектории будет одинакова (в идеальном случае), но это не имеет ни малейшего отношения ко времени прохождения дистанции.
Предельный случай - ямка занимает всю длину траектории. То есть первый шарик опускается до высоты H1, а второй - до H2 (нет, H2 мало, пусть будет H3 ), а в конце траектории возвращается на H1. Скорость второго шарика выше. Длина траектории бесконечна. И вся любофф.
TANSTAAFL
-
- Уже с Приветом
- Posts: 56371
- Joined: 22 Nov 2002 02:05
- Location: С-Пб, NH
Друзья - вы о чем? Делаем доску с ямками-ямками-ямками - получаем вечный ускоритель сферических шариков в вакууме, что ли? Тогда - это нобелевка.
Поторопился - исправляюсь. В частном случае армейской действительности конструкция работает. Второй шарик упал в ямку, там отжался - и дальше побежал быстрей. С соответствии с уставом.
Поторопился - исправляюсь. В частном случае армейской действительности конструкция работает. Второй шарик упал в ямку, там отжался - и дальше побежал быстрей. С соответствии с уставом.
"Я хотел бы устроиться в вашу мусарню… Я хочу ходить с волыной и шмалять в людей." "Триод и Диод"
-
- Уже с Приветом
- Posts: 63377
- Joined: 03 Nov 2004 05:31
- Location: RU -> Toronto, ON