Верно ли,что такую задачку школьных знаний не хватит решить?

[Galileo]

Дано: огромный резервуар с водой, температура воды - плюс 15 по Цельсию.
Из морозильной камеры температуры минус 15 по Цельсию достаётся шарик льда (идеально шарообразный) радиуса "эр" и опускается в этот огромный резервуар.

Вопрос: кто может рассчитать, за сколько шарик полностью растает?

Интересны также модификации: вместо шара - куб и так далее, вместа огромного резервуара с водой, резервуар маленький (то есть температура воды значительно меняется). Температуру получившуюся можно рассчитать из закона сохранения энергии, а вот время таяния - либо забыл уже, как это можно сделать, либо и не знал

Как от радиуса шарика время таяния шарика зависит? Кто НЕ хочет подписаться, что в огромном резервуаре время таяния шарика прямопропорциональна радиусу (вроде и очевидно, а вроде и не очень)?

Если кто знает, как подобраться к такой задаче, изложите идеи, пожалуйста, буду благодарен.

[f_evgeny]

Дано: огромный резервуар с водой, температура воды - плюс 15 по Цельсию.
Из морозильной камеры температуры минус 15 по Цельсию достаётся шарик льда (идеально шарообразный) радиуса "эр" и опускается в этот огромный резервуар.

Вопрос: кто может рассчитать, за сколько шарик полностью растает?

Интересны также модификации: вместо шара - куб и так далее, вместа огромного резервуара с водой, резервуар маленький (то есть температура воды значительно меняется). Температуру получившуюся можно рассчитать из закона сохранения энергии, а вот время таяния - либо забыл уже, как это можно сделать, либо и не знал

Как от радиуса шарика время таяния шарика зависит? Кто НЕ хочет подписаться, что в огромном резервуаре время таяния шарика прямопропорциональна радиусу (вроде и очевидно, а вроде и не очень)?

Если кто знает, как подобраться к такой задаче, изложите идеи, пожалуйста, буду благодарен.

Задача не просто сложная, а очень сложная. Вот например такой вопрос: конвекцию учитывать, или только теплопроводность?

[inside]

http://en.wikipedia.org/wiki/Thermal_conductivity
http://en.wikipedia.org/wiki/Heat_conduction
http://en.wikipedia.org/wiki/Heat_equation
http://ru.wikipedia.org/wiki/Уравнение_диффузии


Если упростить все очень-очень-очень сильно и воспользоваться частным решением уравнения теплопроводности для дощечки толщиной r и площадью поверхности A (и представить себе, что это шарик:)), то тогда посчитать просто.

Дано: радиус r.
Найти: время t.

t = Q / Pcond, Pcond это conduction rate в джоулях в секунду.
Pcond = kA(15+15) / r
Площадь поверхности A = 4*Pi*r^2
Thermal Conductivity for ice k = 2 J/(sec*m*K)

Q = cm(15-0) + Lm = m(L + c(15-0))
Масса m = V*Ro = 4/3*Pi*r^3*1000
Specific heat c = 4180 J/(kg*K)
Heat of transformation L = 333*10^3 J/kg

Если все подставить, то получится
Q = 3.052*10^9*r^3
Pcond = 8*Pi*r*15 = 377*r

Ответ, зависящий только от радиуса (в метрах)
t = 8.01*10^6*r^2

Шарик радиусом 1 сантиметр растает за 13 минут, 2 сантиметра за 54 минуты, 5 сантиметров за 6 часов.

[Flash-04]

Если упростить все очень-очень-очень сильно и воспользоваться частным решением уравнения теплопроводности для дощечки толщиной r и площадью поверхности A (и представить себе, что это шарик:)), то тогда посчитать просто.

что находится за пределами школьной программы

[Galileo]

Spasibo, chto tak bystro otvetili. Pro proporcionalnost' radiusu ja silno pogoryachilsya i bez formul, ne dumaja lyapnul, eh...
Spasibo bolshoe za info, pochitaju.
Spasibo.

[Cometa]

Вооще-то это задача Стефана, да и коеффициент конвекции в воде значитально больше чем теплопроводнось, теплопроводность воовще
здесь не причем. Так что наверное шарик растает быстрее.

[KLM77]

Безусловно растает гораздо быстрее из-за конвекции.
Точно рассчитывать конвекцию очень сложно, поскольку это гидродинамика.

Кроме того, лёд плавает в воде, и ещё присутствует гравитация и разница в плотности воды в зависимости от температуры, поэтому задача несимметричная.

Кроме того, очень большое значение имеет то, насколько вода спокойна, или же в ней присутствуют небольшие вихри, как обычно бывает на практике -- это существенно увеличивает конвекцию и скорость таяния.

[Cometa]

Кроме того, лёд плавает в воде, и ещё присутствует гравитация и разница в плотности воды в зависимости от температуры, поэтому задача несимметричная.

Ны это совсем другая задача, так как в воде только часть поверхности,
а другая часть поверхности в воздухе температура которого не известна.
В принципе шарик может быть полностью в воде если внутри в него вморожена металлическая или золотая дробинка.

[Hamster]

Все упростится, если принять, что система находится в невесомости и поэтому конвекции нет.

Задача сразу примет сферическую симметрию и сведется к системе дифуров в частных производных в двух измерениях.

Еще больше все упростится двумя предположениями:

- распределение температуры вне шарика квазистационарно
- поток энергии сквозь поверхность шарика равен энергии, поглощаемой при плавлении поверхностного слоя в единицу времени, плюс энергии на нагревание этого объема от -15 градусов до нуля. ( Иначе придется ломать голову над распределением температуры внутри, которая явно не квазистационарна)

Ф = 4 pi x^2 L dT/dx = const
dT = (Ф / 4 pi L) dx / x^2

Ф = (T1 - T)*(4 pi r L)

с другой стороны

Ф = ((T-T2)L1 + C) * rho * 4 pi r^2 dr/dt

(T1 - T)*L = ((T-T2)L1 + C) * rho * r dr/dt
r dr/dt = const = (T1-T)* L / (rho * ((T-T2)L1 + C) )

t ~ r^2

Здесь rho - плотность льда, T = 0, T1 = 15, T2 = -15, L - теплопроводность воды, L1 - теплопроводность льда, C - теплота плавления льда.

[Dweller]

Если школьные знания включают в себя дифференцирование и интегрирование, а также знание физики то решить можно.
Просто решения будут на разных уровнях в зависимости от степени приближения формальных условий к реальности.

[Galileo]

[NanoKaktus]

Дано: радиус r.
Найти: время t.

t = Q / Pcond, Pcond это conduction rate в джоулях в секунду.
Pcond = kA(15+15) / r
Площадь поверхности A = 4*Pi*r^2
Thermal Conductivity for ice k = 2 J/(sec*m*K)

А этот Pcond - conduction rate разве не зависит от температуры шарика? Мне всегда казалось, что скорость теплопереноса зависит от разности температур