Математика - наука экспериментальная.

[progenot]

Принято считать, что математика - чуть ли не наука, а только её "язык".
Но наука - это такая система знаний, которая с одной стороны связывает какими-то моделями факты (самосогласует их), а с другой - с помощью этих моделей предсказывает их.
Но ведь математика полностью удовлетворяет только что сформулированным признакам.
Отброшу в сторону всякие разные известные в математике гипотезы, которых известно немало (как например, гипотеза Гольдбаха - "Каждое чётное число равно сумме двух простых".
Рассмотрим святая святых математики, придающая её "особый статус" - логический вывод.
Дело в том, что сам логический вывод - это фактически разновидность физического эксперимента.
Нам кажется, что логический вывод незыблем. И это впечатление вполне адекватно, когда вывод по размеру небольшой и не требует больших затрат для проверки. Однако вывод ещё бывает ОЧЕНЬ большим. Таким, что уже никакой человек его не в состоянии проверить. Только компьютер. Но "журчание" компьютера - это просто физический процесс. Мы ставим с ним опыт и ждём, что на выходе.
Есть такая замечательная гипотеза Кеплера (да, да, тот самый, что движение планет изучал и жил ещё до Ньютона). Согласно этой гипетезе шары плотнее всего упакуются в так называемой кубической гранецентрированной решётке.
Однако этот факт был доказан совсем недавно. Кроме нескольких сот страниц текста, доказательство содержит гигабайта три компьютерных кодов. Чтобы проверить это доказательство, пришлось попросить экспертов (настоящих специалистов) познакомиться с ним, что заняло несколько лет. Распечатанный текст проверили, а компьютерные коды оставили "до лучших времён".
Самый известный и нашумевший факт - это компьютерное доказательство того, что географическую карту, разделённую на области, мы всегда можем раскрасить не более, чем 4 цветами, так, чтобы все соприкасающиеся области были разных цветов.
Хотя эту гипотезу сформулировали ещё лет 140 назад, она была "доказана" компьютером только в 1976 году, причём ознакомиться с тем объёмным текстом весьма проблематично человеку.
Остаётся - "Месье, я Вам верю". А проще - это и есть физический эксперимент.
Просто тот факт, что логический вывод - это разновидность физического эксперимента хорошо акцентируется лишь тогда, когда получаешь техническими средствами по настоящему ОЧЕНЬ большие массивы текстов, являющихся доказательствами каких-то теорем.
Есть популярная статья для школьников на эту тему - http://www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/0007_091.pdf
Эта статья заканчивается словами по этому поводу- "Это конечно совсем непохоже на стандартный идеал дедуктивных наук, но именно так осуществляется проверка утвреждений во всех дедуктивных науках, из которых математика, стало быть, исключена напрасно"
Конечно дедуктивный вывод - ДАЛЕКО НЕ ЕДИНСТВЕННЫЙ способ проведения эксперимента в математике.

Но в случае дедуктики ситуация становится СЛИШКОМ УЖ УДИВИТЕЛЬНОЙ, если мы обратимся к другому физическому процессу - квантовым вычислениям. По сути квантовые вычисления - это просто унитарные преобразования n-ки комплексных чисел (простите за наукообразие). Короче чисел, которые характеризуют некие базовые состояния в квантовой системе.
Фишка в том, что квантовый компьютер, вычисляя доказательство, НЕ МОЖЕТ ДАТЬ ПРОТОКОЛА вывода этого доказательства.
Получается, что в данном случае логический вывод даже непротоколируем. Но этот физический эксперимент позволяет доказывать теоремы.

[adb]

Эксперемент и доказательство полным перебором вещи разные. Я бы сказал принципиально.

[progenot]

Эксперемент и доказательство полным перебором вещи разные. Я бы сказал принципиально.

Говорить можно всё что угодно. Вопрос в обосновании.
Что такое "доказательство полным перебором"? Что именно перебирают? Бывают ли доказательства без "полного перебора" или этот загадочный признак - непременный атрибут математического доказательства?
Почему ФИЗИЧЕСКИЙ процесс вычисления на компьютере не является экспериментом?
Короче, чтобы Ваши комментарии приобрели некую аргументирующую ценность - конкретику в студию.

[Flash-04]

A formal proof

In January 2003, Hales announced the start of a collaborative project to produce a complete formal proof of the Kepler conjecture. The aim is to remove any remaining uncertainty about the validity of the proof by creating a formal proof that can be verified by automated proof checking software such as HOL. This project is called Project FlysPecK – the F, P and K standing for Formal Proof of Kepler. Hales estimates that producing a complete formal proof will take around 20 years of work.

вау!

[TechDude]

Почему ФИЗИЧЕСКИЙ процесс вычисления на компьютере не является экспериментом?

For the same reasons why the PHYSICAL process of hand-writing a mathematical proof of the Pythagoras Theorem on a piece of paper is not an experiment.

For quantum computers the issue is more interesting, but essentially similar except that you don't get a written record. The only practical issue is whether you trust your quantum computer implementation as much as you trust your brain, but if you design and test it well you should trust it. BTW, your brain is also a quantum computer, so not much difference here

[progenot]

Почему ФИЗИЧЕСКИЙ процесс вычисления на компьютере не является экспериментом?

For the same reasons why the PHYSICAL process of hand-writing a mathematical proof of the Pythagoras Theorem on a piece of paper is not an experiment.

Я также не вижу причин считать написание рукой доказательства теоремы Пифагоры не физическим процессом.

Компьютерное доказательство лишь акцентирует внимание на этом, но принципиально ситуация не меняется.

[TechDude]

Почему ФИЗИЧЕСКИЙ процесс вычисления на компьютере не является экспериментом?

For the same reasons why the PHYSICAL process of hand-writing a mathematical proof of the Pythagoras Theorem on a piece of paper is not an experiment.

Я также не вижу причин считать написание рукой доказательства теоремы Пифагоры не физическим процессом.

Компьютерное доказательство лишь акцентирует внимание на этом, но принципиально ситуация не меняется.

Right, that is exactly my point. Handwriting Pythagoras proof on a piece of paper is a physical process but is not an experiment, and it is a scientifically accepted way of proving theorems. Similarly, calculating the proof on a computer is a physical process but is not an experiment, and should be considered an equally accepted scientific way of proving theorems.

[Komissar]

техдюде, у тебя сломалась русская Клава?

[progenot]

is a physical process but is not an experiment, and it is a scientifically accepted way of proving theorems. Similarly, calculating the proof on a computer is a physical process but is not an experiment, and should be considered an equally accepted scientific way of proving theorems.

Как выгдялит эксперимент? Это физический процесс, который на выходе всегда даёт то, чем мы можем манипулировать как текстом ("да", "нет", 1,58 и т.д). Эти результаты мы сравниваем с результатами предсказаний каких-то моделей.
Простые числа Ферма (гипотеза). Все числа вида 2^2^n + 1 предполагались как простые (предсказание), однако Эйлер опроверг эту модель, найдя контрпример.
Возьмём кучка горошин.
Гипотеза. Если мы кучку горошин сможем разделить на две с равным числом, то мы сможем разделить на две, которые в свою очередь не делятся на равные по количеству кучки (больше одного). Это гипотеза Гольбаха. Мы можем проводить физические эксперименты и потенциально опровергнуть эту гипотезу.

Так почему же не эксперимент? Каких ещё загадочных признаков здесь не хватает?

[TechDude]

Как выгдялит эксперимент? Это физический процесс, который на выходе всегда даёт то, чем мы можем манипулировать как текстом ("да", "нет", 1,58 и т.д). Эти результаты мы сравниваем с результатами предсказаний каких-то моделей.

I think this is too vague. Counterexample, as we have discussed above: handwriting the prooof of a Pythagor theorem on a piece of paper is a physical process, and it's outcome is something that we can manipulate like a text (and can compare with other predictions). However, it is clearly not an experiment.

So in order to decide what is an experiment and what is not we need a better definition of an experiment.

[TechDude]

техдюде, у тебя сломалась русская Клава?

It's a free country, dude

[Flash-04]

http://forum.privet.com/viewtopic.php?f=4&t=163811

3.1. Основным языком форума является русский. Допускается использование английского или украинского.

[progenot]

So in order to decide what is an experiment and what is not we need a better definition of an experiment.

Мне по душе говорить не "definition", а "представить модель", что такое эксперимент. Собственно я это уже сделал. Лишь повторюсь.
1) Это физический процесс, чаще всего спланированный (хотя бывают и непреднамеренные, как в астрономии и биологии открытие каких-то явлений, например)
2) На выходе этого процесса всегда есть то, чем мы манипулируем как текстом.
3) Этот процесс воспроизводимый - не обязательно детерминированный, но какие-то результаты можно переработать и представить как воспроизводимые. Воспроизводимость мы характеризуем как вполне определённое свойство текстов, выдаваемых при повторе экспериментальных условий - статистическая, детерминированная и т.п.

Если Вы не считаете, что в математике есть эксперимент, а вычисление доказательства на компьютере - это нечто другое, то Вам придётся, чтобы обосновать это мнение пойти одним из двух альтернативных путей:
1) Посчитать, что описанные процессы к математике не относятся
2) Посчитать, что приведённых выше условий НЕДОСТАТОЧНО для того, чтобы смоделировать процесс проведения эксперимента.

Интересна одна психологическая особенность. Многие математики стесняются произносить слово "эксперимент", но заменяют его на другие слова.
К примеру, я встречал, у Бар-Хиллела в "Теории множеств" об "апостериорном" характере обоснования аксиомы выбора.
Подобных примеры встречаются постоянно и не случайно.

[TechDude]

It still comes down to what you consider an experiment, however you call it. Computer performs logical operations and does nothing else, so in my book this is not an experiment but a proof.

You can stretch the concept of experiment and come up with your own definition that may fit your outcome. But then it becomes a language loop.

We should probably leave that discussion at that, because ultimately it would come down to personal definitions of words.

Cheers!

[progenot]

You can stretch the concept of experiment and come up with your own definition that may fit your outcome. But then it becomes a language loop.

We should probably leave that discussion at that, because ultimately it would come down to personal definitions of words.

Cheers!

Спасибо за участие. Однако хотел бы подчеркнуть, что дело здесь отнюдь не в самом "расширении" понятия эксперимент (я имею в виду те три признака, которые сформулировал, а понимании того, что мы называем методологией науки.
Очень кратко (предвидя возможность справедливого уточнения, о чём речь), сформулирую. Наука - система знаний, представляющая эмпирику в виде каких-то моделей, дающих возможность предсказания и "увязывающих" факты (то есть "сжимающих" их в виде исходных положений). Обходя стороной вопросы "сжатия" в соответствии с неким требованием излагать модели минимальными ресурсами, хотел бы акцентировать на другой сформулированной ипостаси - возможности предсказывать чего-то в виде модели, и возможности быть опровергнутым при несоответствии предсказаний и результатов испытаний.
В рамках изложенного подхода я не вижу ничего такого, чтобы так отличало математику от других систем знания, удовлетворяющих данной методологии и называющихся наукой.
А возможность экспериментирования в математике мне видится вполне очевидной. Другое дело - традиция. Желание избегать этого слова и постоянно подменять его другими повсеместна, тому с легкостью готов приводить множества примеров.
А сама тема интересна не с точки зрения использования некоего "определения" понятия эксперимент (хотя конечно его уместно по возможности точно формулировать), а с точки зрения обсуждения роли этого эксперимента (можно говорить эмпирики, опыта, "вычислительного эксперимента" и любые другие слова, за которыми удобнее избегать традиционно некомфортное понятие эксперимента).
И хотя эмпирика и эмпирическое обоснование - обычная вещь в течение всей истории математики (очень красивы в этом смысле рассуждения Эйлера, который говорит про них, что "я не привожу доказательства, но мои примеры дают такую же степень уверенности, как будто я привёл доказательство"), очень интересно рассмотрение вполне конкретных примеров, которые хорошо иллюстрируют сформулированную мысль об эмпирическом (для тех, кому менее комфортно от употребления именно этого слова замените на "апостериорное") характере математики - например, принципиальная возможность получения доказательств без протокола (см. ссылку на Дойча в старт-посте).

[Flash-04]

приводили уже Digital Physics?
http://en.wikipedia.org/wiki/Digital_physics

[Flash-04]

А возможность экспериментирования в математике мне видится вполне очевидной.

IMHO фракталы - хороший пример. Определение принадлежности точки к множеству, как критерий расстояния на которое "уходит" начальная точка при проведении N шагов преобразования.