Комплексные векторы в комплексном пространстве

[perasperaadastra]

Не могу найти ничего толкового в интернетах... Если у нас есть комплексное пространство, например, двухмерное, в котором заданы два вектора (Ax+iBx, Ay+iBy) и (Cx+iDx, Cy+iDy), то как считаются их длины и скалярное произведение? По обычным формулам, или тут есть особенности (например, влезают сопряженные комплексные координаты)?

[Think_Different]

длина и скалярное произведение это общие понятия удовлетворяющие конкретным аксиомам. как определишь так и будут считаться.

один из вариантов ответа на вопрос это очевидная биекция C^2 (2-мерное комлексное пространство) и R^4. таким образом, длину и скалярное произведение в C^2 можно определить как в R^4.

например, длина вектора (A_x + B_x i, A_y + B_y i) будет вычисляться по формуле sqrt(A_x^2 + B_x^2 + A_y^2 + B_y^2).

[Dmitry67]

длина и скалярное произведение это общие понятия удовлетворяющие конкретным аксиомам. как определишь так и будут считаться.

один из вариантов ответа на вопрос это очевидная биекция C^2 (2-мерное комлексное пространство) и R^4. таким образом, длину и скалярное произведение в C^2 можно определить как в R^4.

например, длина вектора (A_x + B_x i, A_y + B_y i) будет вычисляться по формуле sqrt(A_x^2 + B_x^2 + A_y^2 + B_y^2).

А что вы считаете длиной вектора (0,0,...,i)?
1. i**2 = -1
2. Биекция: длина 1.

Насколько мне известно, природа больше любит первый вариант, например entanglement это следствие того, что корреляция двух комплексных величин может превышать 100%. То есть просто в обычные формулы пихают комплексность

[Think_Different]

длина и скалярное произведение это общие понятия удовлетворяющие конкретным аксиомам. как определишь так и будут считаться.

один из вариантов ответа на вопрос это очевидная биекция C^2 (2-мерное комлексное пространство) и R^4. таким образом, длину и скалярное произведение в C^2 можно определить как в R^4.

например, длина вектора (A_x + B_x i, A_y + B_y i) будет вычисляться по формуле sqrt(A_x^2 + B_x^2 + A_y^2 + B_y^2).

А что вы считаете длиной вектора (0,0,...,i)?

Если использовать подход, который я объяснил выше, то 1.

Не совсем понял ваш ответ с -1 ....у вас длина отрицательная величина? Это оригинально....

[Dmitry67]

длина и скалярное произведение это общие понятия удовлетворяющие конкретным аксиомам. как определишь так и будут считаться.

один из вариантов ответа на вопрос это очевидная биекция C^2 (2-мерное комлексное пространство) и R^4. таким образом, длину и скалярное произведение в C^2 можно определить как в R^4.

например, длина вектора (A_x + B_x i, A_y + B_y i) будет вычисляться по формуле sqrt(A_x^2 + B_x^2 + A_y^2 + B_y^2).

А что вы считаете длиной вектора (0,0,...,i)?

Если использовать подход, который я объяснил выше, то 1.

Не совсем понял ваш ответ с -1 ....у вас длина отрицательная величина? Это оригинально....

Точно также можно сказать - у вас квадрат величины отрицательное число? Оригинально...

[Dmitry67]

Не могу найти ничего толкового в интернетах... Если у нас есть комплексное пространство, например, двухмерное, в котором заданы два вектора (Ax+iBx, Ay+iBy) и (Cx+iDx, Cy+iDy), то как считаются их длины и скалярное произведение? По обычным формулам, или тут есть особенности (например, влезают сопряженные комплексные координаты)?

Ваша интуиция вас не подвела
https://www.physicsforums.com/threads/l ... or.646067/
Таки complex conjugates
В частности длина комплексного вектора равна sqrt(xx*)

[Think_Different]

длина и скалярное произведение это общие понятия удовлетворяющие конкретным аксиомам. как определишь так и будут считаться.

один из вариантов ответа на вопрос это очевидная биекция C^2 (2-мерное комлексное пространство) и R^4. таким образом, длину и скалярное произведение в C^2 можно определить как в R^4.

например, длина вектора (A_x + B_x i, A_y + B_y i) будет вычисляться по формуле sqrt(A_x^2 + B_x^2 + A_y^2 + B_y^2).

А что вы считаете длиной вектора (0,0,...,i)?

Если использовать подход, который я объяснил выше, то 1.

Не совсем понял ваш ответ с -1 ....у вас длина отрицательная величина? Это оригинально....

Точно также можно сказать - у вас квадрат величины отрицательное число? Оригинально...

Вы, очевидно, не поняли, что я написал. Ничего страшного. Бывает.

[Think_Different]

еще раз, более подробно.

Биекция между C^2 и R^4 определяется следующим (очевидным) образом. (z1, z2), где z1 = a + b*i, and z2 = c + d*i <-> (a, b, c, d).

Таким образом, например, элементу (0, i) в C^2 соответствует (0,0,0,1) в R^4. длина (норма) последнего в R^4, очевидно, равна 1.

Дайте знать если остались вопросы.

[perasperaadastra]

Извините, что не отвечал. Нужно было подумать. Отображение в R4 безусловно заслуживает внимание, но мне кажется, есть в этом какая-то неправильность (не в смысле ошибка, а "неудобство" или что-то вроде этого). R4 подразумевает базисы, состоящие из 4 векторов. В то же время, теоретически, в базисах пространства C2 векторов должно быть всего лишь два? Понятно, что каждая координата содержит и 1, и i, которые похожи на единичные векторы — но ведь комплексная плоскость не является полноценным векторным пространством? Или я ошибаюсь?

[Dmitry67]

См мой ответ
Conjugate

[Think_Different]

Извините, что не отвечал. Нужно было подумать. Отображение в R4 безусловно заслуживает внимание, но мне кажется, есть в этом какая-то неправильность (не в смысле ошибка, а "неудобство" или что-то вроде этого). R4 подразумевает базисы, состоящие из 4 векторов. В то же время, теоретически, в базисах пространства C2 векторов должно быть всего лишь два? Понятно, что каждая координата содержит и 1, и i, которые похожи на единичные векторы — но ведь комплексная плоскость не является полноценным векторным пространством? Или я ошибаюсь?

"неудобство" понятие относительное. что не удобно тебе удобно мне. как удобно, так и работай. главное, чтобы понимал, что делаешь
идея с R^4 абсолютно ествественная. ведь, надеюсь, комплексные числа тебе не неудобно представлять как элементы R^2? соответственно, C^2 можно рассматривать как R^4.