venco wrote:Deynekin wrote:НО: сила взаимодействия человека с вагоном не зависит от того, сидит ли он в кресле или идёт с постоянной скоростью, т.к. в обоих случаях ускорения одинаковы.
А почему вы так решили?
— Потому что если скорости двух тел разнятся на константу (а по условию скорость пассажира отн. вагона неизменна — потому-то он и назван "настойчивым"), то их ускорения одинаковы.
venco wrote:Между прочим, скорость системы вагон+человек не равна U в начале, и не равна нулю в конце.
— Думаю, я догадываюсь, что Вы сейчас имеете в виду, поэтому сформулирую задачу чуть подробнее и для экономии времени тут же приведу некоторые уже вычисленные величины. (Кстати, в исходном тексте я сбился в обозначениях: для скорости вагона я начал с U, а потом сошёл на V; пока не очень поздно, для единообразия обсуждения предлагаю всё-таки U для вагона и u для пассажира.)
Будем сравнивать два процесса: один с "ленивым" пассажиром и другой — с "насточивым", совпадающие своими начальными и конечными состояниями.
Начнём с ситуации "ленивый пассажир". Вагон массы M с сидящим в нём пассажиром массы m движется со скоростью U. В некоторый момент появляется тормозящая сила Т, и система равномерно замедляется с ускорением a = T/(m+M) до полной остановки, после чего сила Т убирается (тормоз разжимают). После этого пассажир начинает движение назад, для чего нужна некоторая энергия Е — напр., между m и М распрямляется пружинка, в которой эта энергия была запасена.
В результате массы m и M приобретают разнонаправленные скорости δv= P/m и δV= P/M соответственно;
здесь P — конечный импульс каждого из тел; он легко выражается через энергию Е и приведённую массу μ = m*M/(m+M): P = SQRT(2μE).
При этом скорость разлёта тел равна δv + δV = SQRT(2E/μ) — и это как раз и есть то, что мы называем скоростью пассажира отн. вагона u.
(Выкладки элементарны, но хоть один раз в жизни проделать их самостоятельно должен каждый.)
Теперь рассмотрим ситуацию "настойчивый пассажир". Начало то же, что и в предыдущем случае: Вагон массы M с сидящим в нём пассажиром массы m движется со скоростью U. В некоторый момент пассажир начинает движение назад, для чего затрачивается энергия Е всё той же пружинки. В результате скорость вагона U возрастёт на величину δV = SQRT(2μE)/M, и пассажир будет двигаться отн. вагона против движения со скоростью u = SQRT(2E/μ). Теперь приложим к вагону такую же тормозящую силу T, что и в предыдущем случае, и потребуем, чтобы пассажир поддерживал свою скорость u. Когда скорость вагона уменьшится до величины δV, тормоз убираем — вагон продолжает катиться с этой скоростью, и пассажир попрежнему идёт по вагону со скоростью u — т.е. и конечная ситуация точно та же, что и в первом случае.
Более того, как уже отмечалось, ускорение вагона в обоих случаях одинаково, а поскольку одинаково и изменение скорости: в в первом случае от U до нуля, а во втором от U+δV до δV, то одинаково и время торможения t в обоих случаях.
Но это значит, что во втором случае путь торможения оказывается больше на величину δV*t, чем в первом, и, стало быть, во втором случае тормоз сожрал на T*δV*t больше энергии. Прямым вычислением легко показывается, что эта величина как раз равна той работе (a*m)*(u*t), которую совершил настойчивый пассажир, преодолевая силу инерции. — Слава небесам: закон сохранения энергии устоял!
Но вопрос-таки остался: как при одинаковой силе торможения — что в случае "ленивого" пассажира, что в случае "настойчивого" — работа, совершаемая с каждым шагом идущего пассажира, переходит в энергию, поглощаемую тормозом? Т.е. как это происходит
вот прямо здесь и сейчас за время dt, а не только интегрально?
PS Недавно я предложил эту задачу 30-летнему американскому юноше. Разговор,
разумеется, вёлся без формул, "на пальцах".
Он согласился со мной, что энергия пропадать бесследно не должна, и даже попытался убедить меня в этом своём мнении, раскрыв свой ноутбук и начав читать мне из Wiki про "conservation of energy".
Дальше был такой диалог:
—Так на что же всё-таки пошла совершённая пассажиром работа, чего ради он потел?
—В тепло!
—
Какое тепло?
—Ну он же ведь вспотел, разогрелся!
(Занавес)
или пассажир на идеальных колесиках.