Дверной бампер

[Deynekin]

Это довольно старая задача, но каждому новому подросшему поколению полезно её самостоятельно решить.
Раньше она формулировалась в терминах "рубки лозы саблей", мы же выберем более естественную для нас интерперетацию.

На каком расстоянии от оси вращения двери следует устанавливать стоп-бампер, чтобы при ударе двери об него в петлях не возникала сила реакции?

[perasperaadastra]

А что такое стоп-бампер? Пипка на стене, чтобы дверью об стенку не хлопать?

[Ruger]

И что такое сила реакции в дверных петлях?

[Deynekin]

А что такое стоп-бампер? Пипка на стене, чтобы дверью об стенку не хлопать?

Да, она самая

[Deynekin]

И что такое сила реакции в дверных петлях?

Если Вы когда-нибудь рубили топором дрова, то можете подтвердить, что иногда в момент удара ручка может довольно чувствительно бить по руке. Вот как раз об этой силе отдачи и идёт речь.

Наглядно: если бампер установить слишком близко к оси вражения, петли при ударе будет выворачивать в сторону, противоположную движению двери.
Если же бампер вынести далеко от оси, эта сила будет направлена по ходу движения.
Стало быть, при некотором положении бампера сила отдачи в петлях должна быть равна нулю. Вот это положение и предлагается найти.

[perasperaadastra]

Спасибо за пояснение. Мне кажется нужно добавить еще условие, что бампер идет по всей высоте двери, иначе получится перекос двери по высоте.

[Deynekin]

Спасибо за пояснение. Мне кажется нужно добавить еще условие, что бампер идет по всей высоте двери, иначе получится перекос двери по высоте.

Не нужно добалять это условие. И вот почему.
Есть традиция "стандартных допущений" в физических задачах — все эти "нити нерастяжимые, тонкие, невесомые и идеально гибкие, блоки лёгкие, трения в осях нет, сопротивлением воздуха пренебрегаем" и т.п. Делается это с целью упростить задачу, сделать её "решабельной", но так, чтобы при этом не выплеснуть с водой и ребёнка — чтобы сохранить и вычленить в задаче наиболее интересующий эффект. Решив задачу в такой предельной постановке, при желании в неё можно возвращать отброшенные факторы, напр., в задаче с грузами-нитями-блоками начать учитывать инерционность блоков. Решение при этом будет усложняться, а интересуемый эффект смазываться влиянием вводимых факторов.

При этом иногда качественное влияние доп. факторов заранее очевидно — напр., "получится перекос двери по высоте" — и потому, по крайней мере поначалу, интереса не представляет, и уже по одному этому от них желательно абстрагироваться. (Кстати, во избежание перекоса нет нужды, чтобы бампер шёл по всей высоте, — достаточно, чтобы он был расположен на уровне середины двери, но при этом — ещё одно молчаливое предположение! — дверь должна быть "достаточно жёсткой".)

В частности, в предложенной задаче гораздо важнее распределение массы двери, но каждый привычный человек начнёт с равномерного распределения. В результате, задача естественно сводится к модели однородной палки, шарнирно закреплённой на одном конце и падающей на бампер. Если кто-то и здесь захочет учитывать жёсткость палки, размер бампера, влияние массы дверной ручки на конце — ради бога!
Но сперва желательно решить задачу в этой её предельно простой постановке.

Итак, где нужно раположить бампер, чтобы при ударе палки о него, в шарнире не возникала сила реакции?

Любители хоккея отсюда легко могут перейти к родственной задаче:
По льду, вращаясь, скользит ручка от сломанной клюшки (скорости V, ω, естественно, заданы). При ударе каким местом о штангу ворот ручка остановится?

[helg]

По льду, вращаясь, скользит ручка от сломанной клюшки (скорости V, ω, естественно, заданы). При ударе каким местом о штангу ворот ручка остановится?

Решим задачу для случая, когда клюшка в момент удара о штангу находится параллельно линии ворот. Необходимым условием остановки клюшки является абсолютная неупругость удара - значит и это тоже предположим. Трение клюшки примем нулевым - как о лёд, так и о штангу. В данном случае сила удара действует на клюшку строго перпендикулярно оси ворот.

Пусть масса клюшки - M, а её длина - L. Тогда её момент инерции относительно центра тяжести J=ML^2/12. Линейный импульс клюшки - MV, а момент импульса - Jω. Если место удара находится на расстоянии d от центра клюшки, и неупругий удар забирает весь линейный импульс клюшки, этот неупругий удар забирает момент импульса MVd. Чтобы клюшка остановилась, надо чтобы забранный момент импульса равнялся имеющемуся - Jω. Подставляем:

MVd=ωML^2/12

Откуда искомое d = ωL^2/(12V)

Если при ударе клюшка не параллельна линии ворот, в формулы добавляется угол, но ничего принципиального, на уровне старой школьной программы.

Без предположения о неупругости удара задача выходит за пределы программы: надо считать ударные волны. Но для этого требуется гораздо больше информации о клюшке и воротах, и ответ получается уже не в аналитическом виде.

[perasperaadastra]

На каком расстоянии от оси вращения двери следует устанавливать стоп-бампер, чтобы при ударе двери об него в петлях не возникала сила реакции?

Мой ответ: на расстоянии [ширина двери]/[sqrt 2] от петель. Это примерно 70.7% от ширины двери.

[helg]

На каком расстоянии от оси вращения двери следует устанавливать стоп-бампер, чтобы при ударе двери об него в петлях не возникала сила реакции?

Мой ответ: на расстоянии [ширина двери]/[sqrt 2] от петель. Это примерно 70.7% от ширины двери.

Выше ответ уже есть в общем виде. Дверь, вращающающаяся относительно петель, - это всё равно что клюшка, которая вращается относительно центра с угловой скоростью ω и двигается поступательно с линейной скоростью V = ω * (L/2). Подставляя это V в формулу для d из моего предыдущего сообщения, получаем

d = ωL^2/(12V) = ωL^2 / (12 * ω * (L/2)) = L/6

То есть стоп-бампер должен стоять на расстоянии L/6 от центра двери. Это 1/3 ширины двери, если считать от петель замка.

[venco]

2/3

[helg]

2/3

Точно!

[MaximS]

По середине!