Задачки по геометрии

[Паяльник]

Дано натуральное число N.

1) Доказать, что угол в N градусов можно разделить циркулем и линейкой на N частей тогда и только тогда, когда N не кратно 3.
2) Доказать, что трисекция угла в N градусов циркулем и линейкой возможна тогда и только тогда, когда N кратно 9.

[jsjs]

1) Особо хорошо делится угол в 19 градусов.

[Паяльник]

1) Особо хорошо делится угол в 19 градусов.

Как вы разделите угол в 19 градусов на 19 частей?

[jsjs]

1) Особо хорошо делится угол в 19 градусов.

Как вы разделите угол в 19 градусов на 19 частей?

19*19=361.

[Паяльник]

1) Особо хорошо делится угол в 19 градусов.

Как вы разделите угол в 19 градусов на 19 частей?

19*19=361.

Правильно. А в общем виде? Почему любой угол в N градусов, и только такой угол, можно разделить на N частей?

[jsjs]

1) Особо хорошо делится угол в 19 градусов.

Как вы разделите угол в 19 градусов на 19 частей?

19*19=361.

Правильно. А в общем виде? Почему любой угол в N градусов, и только такой угол, можно разделить на N частей?

В одну сторону -- достаточно просто. Великий афроамериканский учёный Евклид объяснил, как сделать правильный 5-угольник. Из него выковыриваем угол 108 градусов и затем 72 градуса. После чего последовательными байденовскими биссектрисами получаем из 72 градусов 9 градусов. Теперь всё сводится к арифметике по модулю 9,
где искомый угол в плюс/минус 1 градус получается из равенств

1*1 == +1

2*4 == -1

4*2 == -1

5*2 == +1

7*4 == +1

8*1 == -1

В другую сторону -- более скучно, так как уже есть теорема Гаусса-Ванцеля на эту тему.

[Паяльник]

1) Особо хорошо делится угол в 19 градусов.

Как вы разделите угол в 19 градусов на 19 частей?

19*19=361.

Правильно. А в общем виде? Почему любой угол в N градусов, и только такой угол, можно разделить на N частей?

В одну сторону -- достаточно просто. Великий афроамериканский учёный Евклид объяснил, как сделать правильный 5-угольник. Из него выковыриваем угол 108 градусов и затем 72 градуса. После чего последовательными байденовскими биссектрисами получаем из 72 градусов 9 градусов. Теперь всё сводится к арифметике по модулю 9,
где искомый угол в плюс/минус 1 градус получается из равенств

1*1 == +1

2*4 == -1

4*2 == -1

5*2 == +1

7*4 == +1

8*1 == -1

В другую сторону -- более скучно, так как уже есть теорема Гаусса-Ванцеля на эту тему.

Совершенно верно. Я бы ещё заметил вот что. Угол в 3 градуса построить с помощью циркуля и линейки можно (т.к. мы умеем строить угол в 30 градусов и в 18 - последний получается, если мы строим правильный пятиугольник - то легко получить и угол в 3 градуса.) С другой стороны, угол в 1 градус построить нельзя, в силу упомянутой вами теоремы (это было бы равносильно построению правильного 360-угольника, а 360 не есть произведение степени двойки и различных простых чисел Ферма.) То есть, если градусная мера нашего угла - 3N, где N - любое натуральное число, то такой угол построить можно. А если градусная мера нашего угла не делится на 3, то такой угол построить нельзя.

[DropAndDrag]

что вы знаете